215: トポロジカルサブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のクローズドセット（閉集合）であってそれのサブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）がサブセット（部分集合）であるものがある場合、そして、その場合に限って

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トポロジカルサブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のクローズドセット（閉集合）であってそれのサブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）がサブセット（部分集合）であるものがある場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$およびそのサブスペース（部分空間）$T_1\subseteq T$に対して、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T_1$は$T_1$上でクローズド（閉）である、もしも、以下を満たすクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T$、つまり、$S=C\cap T_1$、がある場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

ある$C$があると仮定する。$T_1\setminus S=T_1\setminus (C\cap T_1)=(T\setminus C)\cap T_1$、なぜなら、任意のポイント$p\in T_1\setminus (C\cap T_1)$に対して、$p\notin C\cap T_1$、$p\notin C$、$p\in T\setminus C$、したがって、$p\in (T\setminus C)\cap T_1$; 任意のポイント$p\in (T\setminus C)\cap T_1$に対して、$p\in T\setminus C$、$p\notin C$、$p\notin C\cap T_1$、$p\in T_1\setminus (C\cap T_1)$。したがって、$T_1\setminus S$は$T_1$上でオープン（開）である、そして、$S$は$T_1$上でクローズド（閉）である。

$S$は$T_1$上でクローズド（閉）であると仮定する。$T_1\setminus S$は$T_1$上でオープン（開）である、したがって、$T_1\setminus S=U\cap T_1$、ここで、$U\subseteq T$は$T$上でオープン（開）である。$S=(T\setminus U)\cap T_1$、なぜなら、任意のポイント$p\in S$に対して、$p\in T\setminus U$、なぜなら、さもなければ、$p\in U$、すると、$p\in T_1\setminus S$、矛盾、$p\in (T\setminus U)\cap T_1$; 任意の$p\in (T\setminus U)\cap T_1$に対して、$p\in S$、なぜなら、さもなければ、$p\notin S$、$p\in T_1\setminus S$、$p\in U\cap T_1$、$p\in U$、矛盾。$C$は$T\setminus U$と取ることができる。

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参考資料

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