トポロジカルサブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のクローズドセット（閉集合）であってそれのサブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）がサブセット（部分集合）であるものがある場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)およびそのサブスペース（部分空間）\(T_1 \subseteq T\)に対して、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_1\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）である、もしも、以下を満たすクローズドセット（閉集合）\(C \subseteq T\)、つまり、\(S = C \cap T_1\)、がある場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
ある\(C\)があると仮定する。\(T_1 \setminus S = T_1 \setminus (C \cap T_1) = (T \setminus C) \cap T_1\)、なぜなら、任意のポイント\(p \in T_1 \setminus (C \cap T_1)\)に対して、\(p \notin C \cap T_1\)、\(p \notin C\)、\(p \in T \setminus C\)、したがって、\(p \in (T \setminus C) \cap T_1\); 任意のポイント\(p \in (T \setminus C) \cap T_1\)に対して、\(p \in T \setminus C\)、\(p \notin C\)、\(p \notin C \cap T_1\)、\(p \in T_1 \setminus (C \cap T_1)\)。したがって、\(T_1 \setminus S\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、そして、\(S\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）である。
\(S\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）であると仮定する。\(T_1 \setminus S\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、したがって、\(T_1 \setminus S = U \cap T_1\)、ここで、\(U \subseteq T\)は\(T\)上でオープン（開）である。\(S = (T \setminus U) \cap T_1\)、なぜなら、任意のポイント\(p \in S\)に対して、\(p \in T \setminus U\)、なぜなら、さもなければ、\(p \in U\)、すると、\(p \in T_1 \setminus S\)、矛盾、\(p \in (T \setminus U) \cap T_1\); 任意の\(p \in (T \setminus U) \cap T_1\)に対して、\(p \in S\)、なぜなら、さもなければ、\(p \notin S\)、\(p \in T_1 \setminus S\)、\(p \in U \cap T_1\)、\(p \in U\)、矛盾。\(C\)は\(T \setminus U\)と取ることができる。
