ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はセカンドカウンタブル（可算）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）の任意のサブセット（部分集合）はカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の有限数のカウンタブル（可算）セット（集合）たちのプロダクトはカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）はセカンドカウンタブル（可算）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^n\)はセカンドカウンタブル（可算）である。
2: 証明
任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であるという命題によって、\(\mathbb{R}^n\)は、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）をベーシス（基底）として持つ。当該ベーシス（基底）はカウンタブル（可算）である、なぜなら、その要素たちは(中心座標、半径)ペアたちによるインデックスを付けられるが、有理数たちセット（集合）はカウンタブル（可算）であり、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）の任意のサブセット（部分集合）はカウンタブル（可算）であるという命題および任意の有限数のカウンタブル（可算）セット（集合）たちのプロダクトはカウンタブル（可算）であるという命題が成立するから。
