232: セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）はセカンドカウンタブル（可算）である

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セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）はセカンドカウンタブル（可算）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はセカンドカウンタブル（可算）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）$T$に対して、任意のサブスペース（部分空間）$T_1\subseteq T$はセカンドカウンタブル（可算）である。

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2: 証明

$T$はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）$B$を持つ。任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題によって、$T_1$は$B$と$T_1$のインターセクション（共通集合）をベーシス（基底）$B_1$として持つ。$B_1$の各要素は$B$のある要素に対応するから、$B_1$はカウンタブル（可算）である。

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参考資料

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