セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）はセカンドカウンタブル（可算）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はセカンドカウンタブル（可算）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、任意のサブスペース（部分空間）\(T_1 \subseteq T\)はセカンドカウンタブル（可算）である。
2: 証明
\(T\)はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(B\)を持つ。任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題によって、\(T_1\)は\(B\)と\(T_1\)のインターセクション（共通集合）をベーシス（基底）\(B_1\)として持つ。\(B_1\)の各要素は\(B\)のある要素に対応するから、\(B_1\)はカウンタブル（可算）である。
