230: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、ラショナル（有理）中心とラショナル（有理）半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）である

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ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、ラショナル（有理）中心とラショナル（有理）半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）はある有理ポイントを持つという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^n$に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）$B_{rat}$はベーシス（基底）である。

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2: 証明

任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq {\mathbb{R}}^n$を取ろう。任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）はある有理ポイントを持つという命題によって、ある有理ポイント$p\in U$がある。ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義によって、あるオープンボール（開球）$p\in B_{p-ϵ}\subseteq U$がある。しかし、ある有理数$0<{ϵ}^{\prime }\le ϵ$がある、なぜなら、$ϵ$の無限小数はある桁で切り捨てることができるから。したがって、以下を満たすオープンボール（開球）$B_{p-{ϵ}^{\prime }}\in B_{rat}$、つまり、$B_{p-{ϵ}^{\prime }}\subseteq U$、がある。トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義によって、$B_{rat}$はベーシス（基底）である。

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3: 注

$B_{rat}$はカウンタブル（可算）である、有理数たちセット（集合）はカウンタブル（可算）であるから、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）の任意のサブセット（部分集合）はカウンタブル（可算）であるという命題および任意の有限数のカウンタブル（可算）セット（集合）たちのプロダクトはカウンタブル（可算）であるという命題。

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参考資料

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