ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、ラショナル（有理）中心とラショナル（有理）半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）はある有理ポイントを持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^n\)に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）\(B_{rat}\)はベーシス（基底）である。
2: 証明
任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq \mathbb{R}^n\)を取ろう。任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）はある有理ポイントを持つという命題によって、ある有理ポイント\(p \in U\)がある。ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義によって、あるオープンボール（開球）\(p \in B_{p-\epsilon} \subseteq U\)がある。しかし、ある有理数\(0 \lt \epsilon' \leq \epsilon\)がある、なぜなら、\(\epsilon\)の無限小数はある桁で切り捨てることができるから。したがって、以下を満たすオープンボール（開球）\(B_{p-\epsilon'} \in B_{rat}\)、つまり、\(B_{p-\epsilon'} \subseteq U\)、がある。トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義によって、\(B_{rat}\)はベーシス（基底）である。
3: 注
\(B_{rat}\)はカウンタブル（可算）である、有理数たちセット（集合）はカウンタブル（可算）であるから、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）の任意のサブセット（部分集合）はカウンタブル（可算）であるという命題および任意の有限数のカウンタブル（可算）セット（集合）たちのプロダクトはカウンタブル（可算）であるという命題。
