2023年3月12日日曜日

233: バイジェクション（全単射）に対して、マップ（写像）のインバース（逆）の下でのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）はマップ（写像）の下でのサブセット（部分集合）のイメージ（像）である

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バイジェクション（全単射）に対して、マップ（写像）のインバース（逆）の下でのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）はマップ（写像）の下でのサブセット（部分集合）のイメージ（像）であることの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のバイジェクション（全単射）に対して、当該マップ（写像）のインバース（逆）の下での任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は当該マップ（写像）の下での当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のセット（集合）たちS1およびS2、任意のバイジェクション（全単射）f:S1→S2、任意のサブセット（部分集合）S3⊆S1に対して、fのインバース（逆）の下でのS3のプリイメージ（前像）はfの下でのS3のイメージ（像）である、つまり、(f−1)−1(S3)=f(S3)。

2: 証明


任意のp∈(f−1)−1(S3)に対して、f−1(p)∈S3、p∈f(S3); 任意のp∈f(S3)に対して、f−1(p)∈f−1(f(S3))=S3、ここで、左のf−1はインバース（逆）のオペレーションであり、右のf−1はプリイメージ（前像）である、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合という命題によって、p∈(f−1)−1(S3)。

参考資料
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