バイジェクション（全単射）に対して、マップ（写像）のインバース（逆）の下でのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）はマップ（写像）の下でのサブセット（部分集合）のイメージ（像）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバイジェクション（全単射）に対して、当該マップ（写像）のインバース（逆）の下での任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は当該マップ（写像）の下での当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1\)および\(S_2\)、任意のバイジェクション（全単射）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(S_3 \subseteq S_1\)に対して、\(f\)のインバース（逆）の下での\(S_3\)のプリイメージ（前像）は\(f\)の下での\(S_3\)のイメージ（像）である、つまり、\((f^{-1})^{-1} (S_3) = f (S_3)\)。
2: 証明
任意の\(p \in (f^{-1})^{-1} (S_3)\)に対して、\(f^{-1} (p) \in S_3\)、\(p \in f (S_3)\); 任意の\(p \in f (S_3)\)に対して、\(f^{-1} (p) \in f^{-1} (f (S_3)) = S_3\)、ここで、左の\(f^{-1}\)はインバース（逆）のオペレーションであり、右の\(f^{-1}\)はプリイメージ（前像）である、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合という命題によって、\(p \in (f^{-1})^{-1} (S_3)\)。
