トポロジカルスペース（空間）たち間インジェクティブ（単射）クローズド（閉）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）をレンジ（値域）に制限したマップ（写像）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のバイジェクション（全単射）に対して、当該マップ（写像）のインバース（逆）の下での任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は当該マップ（写像）の下での当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であるという命題を認めている。
- 読者は、もしも、あるトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下の任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そのマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のインジェクティブ（単射）クローズド（閉）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）をレンジ（値域）に制限したマップ（写像）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1\)および\(T_2\)、任意のインジェクティブ（単射）クローズド（閉）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)、\(f\)のコドメイン（余域）についての制限\(f': T_1 \rightarrow f (T_1)\)に対して、\(f'^{-1}: f (T_1) \rightarrow T_1\)はコンティニュアス（連続）である。
2: 証明
任意のクローズドセット（閉集合）\(C \subseteq T_1\)に対して、\({f'^{-1}}^{-1} (C)\)は\(f (T_1)\)上でクローズド（閉）であるか？\(f'\)はバイジェクション（全単射）であるから、\({f'^{-1}}^{-1} (C) = f' (C)\)、任意のバイジェクション（全単射）に対して、当該マップ（写像）のインバース（逆）の下での任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は当該マップ（写像）の下での当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であるという命題によって。\(f\)はクローズド（閉）であるから、\(f (C) = f' (C)\)は\(T_2\)上でクローズド（閉）である、そして、\(f' (C) = f' (C) \cap f (T_1)\)は\(f (T_1)\)上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。もしも、あるトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下の任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そのマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、\(f'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。
