234: トポロジカルスペース（空間）たち間インジェクティブ（単射）クローズド（閉）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）をレンジ（値域）に制限したマップ（写像）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）である|T.B.P.日本語版

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トポロジカルスペース（空間）たち間インジェクティブ（単射）クローズド（閉）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）をレンジ（値域）に制限したマップ（写像）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 記述
2: 証明

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のインジェクティブ（単射）クローズド（閉）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）をレンジ（値域）に制限したマップ（写像）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち

T_{1}

および

T_{2}

、任意のインジェクティブ（単射）クローズド（閉）マップ（写像）

f : T_{1} \to T_{2}

、

f

のコドメイン（余域）についての制限

f^{'} : T_{1} \to f (T_{1})

に対して、

f^{' - 1} : f (T_{1}) \to T_{1}

はコンティニュアス（連続）である。

2: 証明

任意のクローズドセット（閉集合）

C \subseteq T_{1}

に対して、

{f^{' - 1}}^{- 1} (C)

は

f (T_{1})

上でクローズド（閉）であるか？

f^{'}

はバイジェクション（全単射）であるから、

{f^{' - 1}}^{- 1} (C) = f^{'} (C)

、任意のバイジェクション（全単射）に対して、当該マップ（写像）のインバース（逆）の下での任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は当該マップ（写像）の下での当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であるという命題によって。

f

はクローズド（閉）であるから、

f (C) = f^{'} (C)

は

T_{2}

上でクローズド（閉）である、そして、

f^{'} (C) = f^{'} (C) \cap f (T_{1})

は

f (T_{1})

上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。もしも、あるトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下の任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そのマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、

f^{' - 1}