セット（集合）にある要素としてセット（集合）を追加したものに対して、セット（集合）のサブセット（部分集合）たちとサブセット（部分集合）たちでそれらのコンプリメント（補集合）たちがファイナイト（有限）であるものたちのセット（集合）はトポロジーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）にある要素として当該セット（集合）を追加したものに対して、当該セット（集合）のサブセット（部分集合）たちとサブセット（部分集合）たちでそれらのコンプリメント（補集合）たちがファイナイト（有限）であるものたちのセット（集合）はあるトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S'\): \(= S \cup \{S\}\)
\(O\): \(\subseteq Pow (S')\), \(= \{S \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\} \cup \{S^` \subseteq S' \vert S' \setminus S^` \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(O \in \{S' \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S', \emptyset \in O\)であることを見る; ステップ2: \(O\)の任意のサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）は\(O\)内にあることを見る; ステップ3: \(O\)の任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は\(O\)内にあることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(S' \in O\)、なぜなら、\(S' \setminus S' = \emptyset\)はファイナイト（有限）である。
\(\emptyset \in O\)、なぜなら、\(\emptyset \subseteq S\)。
ステップ2:
\(\{U_j \vert j \in J\} \subseteq O\)、ここで、\(J\)はあるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、を任意のものとしよう。
各\(j \in J\)に対して、\(U_j \in \{S \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)または\(U_j \in \{S^` \subseteq S' \vert S' \setminus S^` \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}\}\)。
各\(j \in J\)に対して、\(U_j \in \{S \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)である時、\(\cup_{j \in J} U_j \in \{S \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)、したがって、\(\cup_{j \in J} U_j \in O\)。
以下を満たすある\(j' \in J\)、つまり、\(U_{j'} \notin \{S \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)、があると仮定しよう。
\(U_{j'} \in \{S^` \subseteq S' \vert S' \setminus S^` \in \{\text{ the finite sets }\}\}\)、したがって、\(S' \setminus U_{j'}\)はファイナイト（有限）である。
\(S' \setminus \cup_{j \in J} U_j = \cap_{j \in J} (S' \setminus U_j)\)、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって、\(\subseteq S' \setminus U_{j'}\)、それはファイナイト（有限）である。
したがって、\(\cup_{j \in J} U_j \in \{S^` \subseteq S' \vert S' \setminus S^` \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}\}\)、したがって、\(\cup_{j \in J} U_j \in O\)。
したがって、いずれにせよ、\(\cup_{j \in J} U_j \in O\)。
ステップ3:
\(\{U_j \vert j \in J\} \subseteq O\)、ここで、\(J\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、を任意のものとしよう。
各\(j \in J\)に対して、\(U_j \in \{S \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)または\(U_j \in \{S^` \subseteq S' \vert S' \setminus S^` \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}\}\)。
以下を満たすある\(j' \in J\)、つまり、\(U_{j'} \in \{S \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)、がある時は、\(\cap_{j \in J} U_j \subseteq U_{j'} \in \{S \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)、したがって、\(\cap_{j \in J} U_j \in O\)。
各\(j \in J\)に対して、\(U_j \notin \{S \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}\)であると仮定しよう。
各\(j \in J\)に対して、\(U_j \in \{S^` \subseteq S' \vert S' \setminus S^` \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}\}\)。
\(S' \setminus \cap_{j \in J} U_j = \cup_{j \in J} (S' \setminus U_j)\)、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって、それは、ファイナイト（有限）である、なぜなら、各\(S' \setminus U_j\)はファイナイト（有限）であり\(J\)はファイナイト（有限）である。
したがって、\(\cap_{j \in J} U_j \in \{S^` \subseteq S' \vert S' \setminus S^` \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}\}\)、したがって、\(\cap_{j \in J} U_j \in O\)。
したがって、いずれにせよ、\(\cap_{j \in J} U_j \in O\)。
ステップ4:
したがって、\(O\)は\(S'\)に対するあるトポロジーである。
