セット（集合）プラス要素としてのセット（集合）に対して、オープンセット（開集合）たちを、セット（集合）のサブセット（部分集合）たちとコンプリメントが有限であるサブセット（部分集合）たちとしたもの、はトポロジーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）プラス要素としての当該セット（集合）に対して、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）であって、サブセット（部分集合）たちは当該セット（集合）のサブセット（部分集合）たちおよびコンプリメントが有限であるサブセット（部分集合）たちであるもの、はトポロジーを構成するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）\(S\)に対して、セット（集合）\(S' = S \cup \{S\}\)に対して、以下を満たすサブセット（部分集合）たちのセット（集合）\(O\)、つまり、\(S_\alpha \in O\)である、もしも、\(S_\alpha \subseteq S\)であるか\(S' \setminus S_\alpha\)が有限である場合、そしてその場合に限って、はトポロジーを構成する。
2: 証明
\(S' \in O\)、\(S' \setminus S' = \emptyset\)は有限であるから。\(\emptyset \in O\)、\(\emptyset \subseteq S\)であるから。
任意の\(U_\alpha \subseteq S\)を\(U_\alpha\)と表わし、\(S' \setminus V_\beta\)が有限である任意の\(V_\beta \subseteq S'\)を\(V_\beta\)と表わそう。
\((\cup_\alpha U_\alpha) \cup (\cup_\beta V_\beta)\)は任意の\(\{\alpha\}\)および任意の空でない\(\{\beta\}\)に対してオープン（開）であるか？\(S' \setminus ((\cup_\alpha U_\alpha) \cup (\cup_\beta V_\beta)) \subseteq S' \setminus \cup_\beta V_\beta = \cap_\beta S' \setminus V_\beta\)、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって、そしてそれは有限である。
\((\cup_\alpha U_\alpha) \cup (\cup_\beta V_\beta)\)は任意の\(\{\alpha\}\)および空の\(\{\beta\}\)に対してオープン（開）であるか？\(\cup_\alpha U_\alpha\)は\(S\)のサブセット（部分集合）である。
\((\cap_i U_i) \cap (\cap_j V_j)\)は、任意の空でない有限\(\{i\}\)および任意の有限\(\{j\}\)に対してオープン（開）であるか？それは\(S\)のサブセット（部分集合）である。
\((\cap_i U_i) \cap (\cap_j V_j)\)は空の\(\{i\}\)および任意の有限\(\{j\}\)に対してオープン（開）であるか？\(S' \setminus \cap_j V_j = \cup_j S' \setminus V_j\)、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。それは有限である。
