226: セット（集合）プラス要素としてのセット（集合）に対して、オープンセット（開集合）たちを、セット（集合）のサブセット（部分集合）たちとコンプリメントが有限であるサブセット（部分集合）たちとしたもの、はトポロジーである

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セット（集合）プラス要素としてのセット（集合）に対して、オープンセット（開集合）たちを、セット（集合）のサブセット（部分集合）たちとコンプリメントが有限であるサブセット（部分集合）たちとしたもの、はトポロジーであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）プラス要素としての当該セット（集合）に対して、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）であって、サブセット（部分集合）たちは当該セット（集合）のサブセット（部分集合）たちおよびコンプリメントが有限であるサブセット（部分集合）たちであるもの、はトポロジーを構成するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）$S$に対して、セット（集合）$S^{\prime }=S\cup \{S\}$に対して、以下を満たすサブセット（部分集合）たちのセット（集合）$O$、つまり、$S_{\alpha }\in O$である、もしも、$S_{\alpha }\subseteq S$であるか$S^{\prime }\setminus S_{\alpha }$が有限である場合、そしてその場合に限って、はトポロジーを構成する。

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2: 証明

$S^{\prime }\in O$、$S^{\prime }\setminus S^{\prime }=\mathrm{\varnothing }$は有限であるから。$\mathrm{\varnothing }\in O$、$\mathrm{\varnothing }\subseteq S$であるから。

任意の$U_{\alpha }\subseteq S$を$U_{\alpha }$と表わし、$S^{\prime }\setminus V_{\beta }$が有限である任意の$V_{\beta }\subseteq S^{\prime }$を$V_{\beta }$と表わそう。

$({\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha })\cup ({\cup }_{\beta }{V}_{\beta })$は任意の$\{\alpha \}$および任意の空でない$\{\beta \}$に対してオープン（開）であるか？$S^{\prime }\setminus (({\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha })\cup ({\cup }_{\beta }{V}_{\beta }))\subseteq S^{\prime }\setminus {\cup }_{\beta }{V}_{\beta }={\cap }_{\beta }{S}^{\prime }\setminus V_{\beta }$、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって、そしてそれは有限である。

$({\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha })\cup ({\cup }_{\beta }{V}_{\beta })$は任意の$\{\alpha \}$および空の$\{\beta \}$に対してオープン（開）であるか？${\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$は$S$のサブセット（部分集合）である。

$({\cap }_i{U}_i)\cap ({\cap }_j{V}_j)$は、任意の空でない有限$\{i\}$および任意の有限$\{j\}$に対してオープン（開）であるか？それは$S$のサブセット（部分集合）である。

$({\cap }_i{U}_i)\cap ({\cap }_j{V}_j)$は空の$\{i\}$および任意の有限$\{j\}$に対してオープン（開）であるか？$S^{\prime }\setminus {\cap }_j{V}_j={\cup }_j{S}^{\prime }\setminus V_j$、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。それは有限である。

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参考資料

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