229: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）上のオープンセット（開集合）はラショナル（有理）ポイントを持つ

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ユークリディアントポロジカルスペース（空間）上のオープンセット（開集合）はラショナル（有理）ポイントを持つことの記述/証明

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話題

About: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）はある有理ポイントを持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^n$および任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq {\mathbb{R}}^n$に対して、ある有理ポイント$p\in U$がある。

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2: 証明

任意のポイント$p^{\prime }\in U$の周りに、ユークリディアントポロジーの定義によって、あるオープンボール（開球）$B_{p^{\prime }-ϵ}\subseteq U$があり、その中に、内接直立オープン（開）ハイパースクエアがあり、その辺長は$l=\sqrt{4n^{-1}{ϵ}^2}$である。したがって、以下を満たす任意のポイント$(x^1,x^2,...,x^n)$、つまり、$p^{\prime i}-2^{-1}l<x^i<p^{\prime i}+2^{-1}l$、は当該オープン（開）ハイパースクエア内にあり、したがって、当該オープンボール（開球）内にある。

ある有理数$x^i$を当該条件を満たすように選ぶことができる、なぜなら、$p^{\prime i}-2^{-1}l$および$p^{\prime i}+2^{-1}l$は無限小数として表現することができ（もしも、それらの1つが有限であれば、末尾に'0000 . . .'を追加する; '~9999. . .'は使わない、それは'~0000 . . .'の表現で置き換えることができるから）、前者の桁で、後者の対応する桁と異なる（より小さく'9'ではない、不可避に）最初のものがあり、有理数を、当該桁を1増やしてそれを最終桁としたものに取ることができる、もしも、それが後者と一致しない場合、しかし、そうでなければ、前者の引き続きの'9'でないある桁があり、したがって、有理数を、当該引き続き桁を'9'に変えて最終桁としたものに取ることができる。

すると、当該ポイントは、$U$内の有理ポイントである。

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参考資料

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