ユークリディアントポロジカルスペース（空間）上のオープンセット（開集合）はラショナル（有理）ポイントを持つことの記述/証明
話題
About: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）はある有理ポイントを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^n\)および任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq \mathbb{R}^n\)に対して、ある有理ポイント\(p \in U\)がある。
2: 証明
任意のポイント\(p' \in U\)の周りに、ユークリディアントポロジーの定義によって、あるオープンボール（開球）\(B_{p'-\epsilon} \subseteq U\)があり、その中に、内接直立オープン（開）ハイパースクエアがあり、その辺長は\(l = \sqrt{4 n^{-1} \epsilon^2}\)である。したがって、以下を満たす任意のポイント\((x^1, x^2, . . ., x^n)\)、つまり、\(p'^i - 2^{-1} l \lt x^i \lt p'^i + 2^{-1} l\)、は当該オープン（開）ハイパースクエア内にあり、したがって、当該オープンボール（開球）内にある。
ある有理数\(x^i\)を当該条件を満たすように選ぶことができる、なぜなら、\(p'^i - 2^{-1} l\)および\(p'^i + 2^{-1} l\)は無限小数として表現することができ（もしも、それらの1つが有限であれば、末尾に'0000 . . .'を追加する; '~9999. . .'は使わない、それは'~0000 . . .'の表現で置き換えることができるから）、前者の桁で、後者の対応する桁と異なる（より小さく'9'ではない、不可避に）最初のものがあり、有理数を、当該桁を1増やしてそれを最終桁としたものに取ることができる、もしも、それが後者と一致しない場合、しかし、そうでなければ、前者の引き続きの'9'でないある桁があり、したがって、有理数を、当該引き続き桁を'9'に変えて最終桁としたものに取ることができる。
すると、当該ポイントは、\(U\)内の有理ポイントである。
