各ポイントの周りのサブセット（部分集合）たちのセット（集合）で諸条件を満たすものは、各セット（集合）がネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）になるユニークなトポロジーを生成することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、各ポイントの周りのいくつかのサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）で特定の諸条件を満たすものは、各セット（集合）がネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）になるユニークなトポロジーを生成するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）\(S\)および各ポイント\(p \in S\)の周りのいくつかのサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）\(S_p\)、それが意味するのは、\(S_p\)の各要素は\(p\)を包含する、で以下の条件: [ 1) \(S_p\)は空でない; 2) 任意の\(S_1, S_2 \in S_p\)に対して、以下を満たすある\(S_3 \in S_p\)、つまり、\(S_3 \subseteq S_1 \cap S_2\)、がある; 3) 任意の\(S_1 \in S_p\)に対して、\(p\)の周りに以下を満たすあるサブセット（部分集合）\(p \in S_2 \subseteq S_1\)、つまり、各\(p' \in S_2\)に対して、以下を満たすある\(S_3 \in S_{p'}\)、つまり、\(S_3 \subseteq S_2\)、がある、がある], を満たすものに対して、\(\{S_p\}\)は\(S\)上に、\(S_p\)が\(p\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）になるユニークなトポロジーを生成する。
2: 証明
以下のようにトポロジーを定義しよう、つまり、任意のサブセット（部分集合）\(S_1 \subseteq S\)はオープン（開）である、もしも、各ポイント\(p \in S_1\)において、以下を満たすある\(S_2 \in S_p\)、つまり、\(S_2 \subseteq S_1\)、がある場合、そしてその場合に限って。それは実際にトポロジーである、なぜなら、\(S\)はオープン（開）である、\(S_p\)は空でなく\(S_p\)の任意の要素は\(S\)に包含されているから; 空集合は空虚にオープン（開）である; オープンセット（開集合）たちの任意のユニオン（和集合）\(\cup_\alpha U_\alpha\)はオープン（開）である、なぜなら、各ポイント\(p \in \cup_\alpha U_\alpha\)において、ある\(\alpha\)に対して\(p \in U_\alpha\)、以下を満たすある\(S_1 \in S_p\)、つまり、\(S_1 \subseteq U_\alpha\)、がある、\(U_\alpha\)はオープン（開）であるから、\(S_1 \subseteq \cup_\alpha U_\alpha\); オープンセット（開集合）たちの任意の有限インターセクション（共通集合）\(\cap_i U_i\)はオープン（開）、なぜなら、各ポイント\(p \in \cap_i U_i\)において、各\(i\)に対して\(p \in U_i\)、以下を満たすある\(S_i \in S_p\)、つまり、各\(i\)に対して\(S_i \subseteq U_i\)、がある、\(\cap_i S_i \subseteq \cap_i U_i\)、しかし、以下を満たすある\(S_{1'} \in S_p\) 、つまり、\(S_{1'} \subseteq \cap_i S_i\)、がある、条件2)によって、そして、\(S_{1'} \subseteq \cap_i S_i \subseteq \cap_i U_i\)。
\(S_p\)は\(p\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）である、なぜなら、各要素\(S_1 \in S_p\)はネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、条件3)によって、\(S_1\)はオープン（開）である\(p \in S_2\)を包含しているから; \(p\)の各ネイバーフッド（近傍）\(N_p\)に対して、\(p\)あるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）\(U_p \subseteq N_p\)があり、以下を満たすある\(S_1 \in S_p\)、つまり、\(S_1 \subseteq U_p \subseteq N_p\)、がある、本トポロジーの定義によって。
トポロジーはユニークである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たちの任意のセット（集合）はトポロジーを決定するという命題によって。
3: 注
条件3)は、\(S_p\)が\(p\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であることを保証するために必要である、当該トポロジー（それは唯一の可能なトポロジーではないかもしれない）を定義することはできるか。
\(S_p\)が、条件3)なしではなんらのトポロジーのネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）でもあり得ない例として、\(S = \mathbb{R}\)、\(S_p = \{(p - 1, p + 1)\}\)を考えよう。\(\{S_p\}\)は実際に条件1)および2)を満たす、ここで、2)は単に\((p - 1, p + 1) \subseteq (p - 1, p + 1) \cap (p - 1, p + 1) = (p - 1, p + 1)\)、\(S_p\)内にはただ1つの要素しかないから。すると、\(S_p\)が\(p\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であるためには、\((p - 1, p + 1)\)は\(p\)のネイバーフッド（近傍）でなければならず、\(p\)のあるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）を包含していなければならず、当該オープン（開）ネイバーフッド（近傍）は\(S_p\)のある要素を包含していなければならないが、その要素は\((p - 1, p + 1)\)でしかあり得ず、したがって、\((p - 1, p + 1)\)が当該オープン（開）ネイバーフッド（近傍）でなければならない。すると、\((p - 1, p + 1) \cap (p + 1 - 1, p + 1 + 1) = (p, p + 1)\)は\(p + 1/2\)のオープン（開）ネイバーフッド（近傍）でなければならず、それは\(S_{p + 1/2}\)のある要素を包含していなければならないが、それは\((p + 1/2 - 1, p + 1/2 + 1) = (p - 1/2, p + 3/2)\)でしかあり得ないが、それは実際には\((p, p + 1)\)に包含されていない。したがって、いかなるトポロジーを選ぼうが、\(S_p\)はネイバーフッド（近傍）ベーシス（近傍）であり得ない。
