228: 各ポイントの周りのサブセット（部分集合）たちのセット（集合）で諸条件を満たすものは、各セット（集合）がネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）になるユニークなトポロジーを生成する

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各ポイントの周りのサブセット（部分集合）たちのセット（集合）で諸条件を満たすものは、各セット（集合）がネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）になるユニークなトポロジーを生成することの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ポイントにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たちの任意のセット（集合）はトポロジーを決定するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）に対して、各ポイントの周りのいくつかのサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）で特定の諸条件を満たすものは、各セット（集合）がネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）になるユニークなトポロジーを生成するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）$S$および各ポイント$p\in S$の周りのいくつかのサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）$S_p$、それが意味するのは、$S_p$の各要素は$p$を包含する、で以下の条件: [ 1) $S_p$は空でない; 2) 任意の$S_1,S_2\in S_p$に対して、以下を満たすある$S_3\in S_p$、つまり、$S_3\subseteq S_1\cap S_2$、がある; 3) 任意の$S_1\in S_p$に対して、$p$の周りに以下を満たすあるサブセット（部分集合）$p\in S_2\subseteq S_1$、つまり、各$p^{\prime }\in S_2$に対して、以下を満たすある$S_3\in S_{p^{\prime }}$、つまり、$S_3\subseteq S_2$、がある、がある], を満たすものに対して、$\{S_p\}$は$S$上に、$S_p$が$p$におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）になるユニークなトポロジーを生成する。

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2: 証明

以下のようにトポロジーを定義しよう、つまり、任意のサブセット（部分集合）$S_1\subseteq S$はオープン（開）である、もしも、各ポイント$p\in S_1$において、以下を満たすある$S_2\in S_p$、つまり、$S_2\subseteq S_1$、がある場合、そしてその場合に限って。それは実際にトポロジーである、なぜなら、$S$はオープン（開）である、$S_p$は空でなく$S_p$の任意の要素は$S$に包含されているから; 空集合は空虚にオープン（開）である; オープンセット（開集合）たちの任意のユニオン（和集合）${\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$はオープン（開）である、なぜなら、各ポイント$p\in {\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$において、ある$\alpha$に対して$p\in U_{\alpha }$、以下を満たすある$S_1\in S_p$、つまり、$S_1\subseteq U_{\alpha }$、がある、$U_{\alpha }$はオープン（開）であるから、$S_1\subseteq {\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$; オープンセット（開集合）たちの任意の有限インターセクション（共通集合）${\cap }_i{U}_i$はオープン（開）、なぜなら、各ポイント$p\in {\cap }_i{U}_i$において、各$i$に対して$p\in U_i$、以下を満たすある$S_i\in S_p$、つまり、各$i$に対して$S_i\subseteq U_i$、がある、${\cap }_i{S}_i\subseteq {\cap }_i{U}_i$、しかし、以下を満たすある$S_{1^{\prime }}\in S_p$ 、つまり、$S_{1^{\prime }}\subseteq {\cap }_i{S}_i$、がある、条件2)によって、そして、$S_{1^{\prime }}\subseteq {\cap }_i{S}_i\subseteq {\cap }_i{U}_i$。

$S_p$は$p$におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）である、なぜなら、各要素$S_1\in S_p$はネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、条件3)によって、$S_1$はオープン（開）である$p\in S_2$を包含しているから; $p$の各ネイバーフッド（近傍）$N_p$に対して、$p$あるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）$U_p\subseteq N_p$があり、以下を満たすある$S_1\in S_p$、つまり、$S_1\subseteq U_p\subseteq N_p$、がある、本トポロジーの定義によって。

トポロジーはユニークである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たちの任意のセット（集合）はトポロジーを決定するという命題によって。

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3: 注

条件3)は、$S_p$が$p$におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であることを保証するために必要である、当該トポロジー（それは唯一の可能なトポロジーではないかもしれない）を定義することはできるか。

$S_p$が、条件3)なしではなんらのトポロジーのネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）でもあり得ない例として、$S=\mathbb{R}$、$S_p=\{(p-1,p+1)\}$を考えよう。$\{S_p\}$は実際に条件1)および2)を満たす、ここで、2)は単に$(p-1,p+1)\subseteq (p-1,p+1)\cap (p-1,p+1)=(p-1,p+1)$、$S_p$内にはただ1つの要素しかないから。すると、$S_p$が$p$におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であるためには、$(p-1,p+1)$は$p$のネイバーフッド（近傍）でなければならず、$p$のあるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）を包含していなければならず、当該オープン（開）ネイバーフッド（近傍）は$S_p$のある要素を包含していなければならないが、その要素は$(p-1,p+1)$でしかあり得ず、したがって、$(p-1,p+1)$が当該オープン（開）ネイバーフッド（近傍）でなければならない。すると、$(p-1,p+1)\cap (p+1-1,p+1+1)=(p,p+1)$は$p+1/2$のオープン（開）ネイバーフッド（近傍）でなければならず、それは$S_{p+1/2}$のある要素を包含していなければならないが、それは$(p+1/2-1,p+1/2+1)=(p-1/2,p+3/2)$でしかあり得ないが、それは実際には$(p,p+1)$に包含されていない。したがって、いかなるトポロジーを選ぼうが、$S_p$はネイバーフッド（近傍）ベーシス（近傍）であり得ない。

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参考資料

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