279: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）である

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コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

以下を満たす任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）$T={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、つまり、各$T_{\alpha }$はコネクテッド（連結された）である、に対して、$T$はコネクテッド（連結された）である。

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2: 証明

$T$はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定しよう。$T=U_1\cup U_2,U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、$U_1\ne \mathrm{\varnothing }$および$U_2\ne \mathrm{\varnothing }$、ここで、$U_i$はオープンセット（開集合）ということになる。$U_i={\cup }_{\beta \in B_i}{\times }_{\alpha \in A}{U}_{i-\beta -\alpha }$、ここで、$B_i$はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、$U_{i-\beta -\alpha }$は以下を満たすオープンセット（開集合）、つまり、各$i$および$\beta$,に対して、有限個のみの$U_{i-\beta -\alpha }$たちが$T_{\alpha }$でない、プロダクトトポロジーの定義によって。

任意のポイント$p_{\underset{―}{\gamma }}\in {\pi }_{\underset{―}{\gamma }}T$、ここで、${\pi }_{\underset{―}{\gamma }}$は$T$の$T_{\underset{―}{\gamma }}:={\times }_{\alpha \in A\setminus \{\gamma \}}{T}_{\alpha }$へのプロジェクションとなる、を取ろう。$B_{i-\underset{―}{\gamma }}:=\{\beta \in B_i|p_{\underset{―}{\gamma }}\in {\times }_{\alpha \in A\setminus \{\gamma \}}{U}_{i-\beta -\alpha }\}$および$U_{i-\gamma }:={\cup }_{\beta \in B_{i-\underset{―}{\gamma }}}{U}_{i-\beta -\gamma }$を定義しよう。$U_{1-\gamma }\cup U_{2-\gamma }=T_{\gamma }$、なぜなら、任意の$p_{\gamma }\in T_{\gamma }$に対して、以下を満たす対応するポイント$p\in T$、つまり、${\pi }_{\underset{―}{\gamma }}p=p_{\underset{―}{\gamma }}$および${\pi }_{\gamma }p=p_{\gamma }$、はある$\beta \in B_{i-\underset{―}{\gamma }}$に対して${\times }_{\alpha \in A}{U}_{i-\beta -\alpha }$内にいることになるだろう、$p\in U_1$または$p\in U_2$であるから。$U_{1-\gamma }\cap U_{2-\gamma }=\mathrm{\varnothing }$、なぜなら、もしも、$p_{\gamma }\in U_{1-\gamma }\cap U_{2-\gamma }$であれば、以下を満たす対応するポイント$p\in T$、つまり、${\pi }_{\underset{―}{\gamma }}p=p_{\underset{―}{\gamma }}$および${\pi }_{\gamma }p=p_{\gamma }$、は$U_1\cap U_2$内にいることになるだろう。

$T_{\gamma }$はコネクテッド（連結された）であるから、$U_{1-\gamma }=\mathrm{\varnothing }$または$U_{2-\gamma }=\mathrm{\varnothing }$、それが意味することになるのは、任意の固定された$p_{\underset{―}{\gamma }}$に対して、全ての$p_{\gamma }\in T_{\gamma }$たちは全体として$U_1$内にいるか$U_2$内にいるかであるということ。$U_{2-\gamma }=\mathrm{\varnothing }$、したがって、不可避に$U_{1-\gamma }=T_{\gamma }$、だと仮定しよう、一般性を失うことなく。任意の$p_{\gamma }\in U_{1-\gamma }$に対して、ある$\beta \in B_{1-\underset{―}{\gamma }}$に対して、$p_{\gamma }\in U_{1-\beta -\gamma }$、そして、以下を満たす対応するポイント$p\in T$、つまり、${\pi }_{\underset{―}{\gamma }}p=p_{\underset{―}{\gamma }}$および${\pi }_{\gamma }p=p_{\gamma }$、は、ある$\beta \in B_{1-\underset{―}{\gamma }}$に対して、${\times }_{\alpha \in A}{U}_{1-\beta -\alpha }$の中にいることになる。

しかし、当該$\beta$に対して、$U_{1-\beta -\alpha }\ne T_{\alpha }$を満たす有限個のみの$U_{1-\beta -\alpha }$たちがある。$A_{\beta }$をそうした$\alpha$たちの集合$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n\}$として定義しよう。すると、各$\alpha \in A_{\beta }$に対して${\pi }_{\alpha \in A_{\beta }}{p}^{\prime }=p_{\alpha }\in U_{1-\beta -\alpha }$である各ポイント$p^{\prime }\in T$は、${\times }_{\alpha \in A}{U}_{1-\beta -\alpha }\subseteq U_1$の中にあるということになる。${\alpha }_1$を上記手順の$\gamma$として取ることができる、すると、各$\alpha \in A_{\beta }\setminus \{{\alpha }_1\}$に対して、${\pi }_{\alpha \in A_{\beta }\setminus \{{\alpha }_1\}}{p}^{\prime }=p_{\alpha }\in U_{1-\beta -\alpha }$を満たす各ポイント$p^{\prime }\in T$は、$U_1$内にいるということになる、なぜなら、当該1つの$p_{{\alpha }_1}$は$U_1$内にいることが知られているから、$T_{{\alpha }_1}$全体が$U_1$内にいなければならない。次に、${\alpha }_2$を上記手順の$\gamma$として取ることができ、すると、各$\alpha \in A_{\beta }\setminus \{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}$に対して、${\pi }_{\alpha \in A_{\beta }\setminus \{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}}{p}^{\prime }=p_{\alpha }\in U_{1-\beta -\alpha }$を満たす各ポイント$p^{\prime }\in T$は、$U_1$内にいることになる、同様の理由によって、等々。結局、各ポイント$p^{\prime }\in T$は$U_1$内にいることになる、矛盾。

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参考資料

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