コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
以下を満たす任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T = \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、つまり、各\(T_\alpha\)はコネクテッド（連結された）である、に対して、\(T\)はコネクテッド（連結された）である。
2: 証明
\(T\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定しよう。\(T = U_1 \cup U_2, U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、\(U_1 \neq \emptyset\)および\(U_2 \neq \emptyset\)、ここで、\(U_i\)はオープンセット（開集合）ということになる。\(U_i = \cup_{\beta \in B_i} \times_{\alpha \in A} U_{i-\beta-\alpha}\)、ここで、\(B_i\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、\(U_{i-\beta-\alpha}\)は以下を満たすオープンセット（開集合）、つまり、各\(i\)および\(\beta\),に対して、有限個のみの\(U_{i-\beta-\alpha}\)たちが\(T_\alpha\)でない、プロダクトトポロジーの定義によって。
任意のポイント\(p_{\underline\gamma} \in \pi_{\underline\gamma} T\)、ここで、\(\pi_{\underline\gamma}\)は\(T\)の\(T_{\underline\gamma} := \times_{\alpha \in A \setminus \{\gamma\}} T_\alpha\)へのプロジェクションとなる、を取ろう。\(B_{i-\underline\gamma} := \{\beta \in B_i\vert p_{\underline\gamma} \in \times_{\alpha \in A \setminus \{\gamma\}} U_{i-\beta-\alpha}\}\)および\(U_{i-\gamma} := \cup_{\beta \in B_{i-\underline\gamma}} U_{i-\beta-\gamma}\)を定義しよう。\(U_{1-\gamma} \cup U_{2-\gamma} = T_\gamma\)、なぜなら、任意の\(p_\gamma \in T_\gamma\)に対して、以下を満たす対応するポイント\(p \in T\)、つまり、\(\pi_{\underline{\gamma}} p = p_{\underline{\gamma}}\)および\(\pi_\gamma p = p_\gamma\)、はある\(\beta \in B_{i-\underline{\gamma}}\)に対して\(\times_{\alpha \in A} U_{i-\beta-\alpha}\)内にいることになるだろう、\(p \in U_1\)または\(p \in U_2\)であるから。\(U_{1-\gamma} \cap U_{2-\gamma} = \emptyset\)、なぜなら、もしも、\(p_\gamma \in U_{1-\gamma} \cap U_{2-\gamma}\)であれば、以下を満たす対応するポイント\(p \in T\)、つまり、\(\pi_{\underline{\gamma}} p = p_{\underline{\gamma}}\)および\(\pi_\gamma p = p_\gamma\)、は\(U_1 \cap U_2\)内にいることになるだろう。
\(T_\gamma\)はコネクテッド（連結された）であるから、\(U_{1-\gamma} = \emptyset\)または\(U_{2-\gamma} = \emptyset\)、それが意味することになるのは、任意の固定された\(p_{\underline{\gamma}}\)に対して、全ての\(p_\gamma \in T_\gamma\)たちは全体として\(U_1\)内にいるか\(U_2\)内にいるかであるということ。\(U_{2-\gamma} = \emptyset\)、したがって、不可避に\(U_{1-\gamma} = T_\gamma\)、だと仮定しよう、一般性を失うことなく。任意の\(p_\gamma \in U_{1-\gamma}\)に対して、ある\(\beta \in B_{1-\underline{\gamma}}\)に対して、\(p_\gamma \in U_{1-\beta-\gamma}\)、そして、以下を満たす対応するポイント\(p \in T\)、つまり、\(\pi_{\underline{\gamma}} p = p_{\underline{\gamma}}\)および\(\pi_\gamma p = p_\gamma\)、は、ある\(\beta \in B_{1-\underline{\gamma}}\)に対して、\(\times_{\alpha \in A} U_{1-\beta-\alpha}\)の中にいることになる。
しかし、当該\(\beta\)に対して、\(U_{1-\beta-\alpha} \neq T_\alpha\)を満たす有限個のみの\(U_{1-\beta-\alpha}\)たちがある。\(A_\beta\)をそうした\(\alpha\)たちの集合\(\{\alpha_1, \alpha_2, . . ., \alpha_n\}\)として定義しよう。すると、各\(\alpha \in A_\beta\)に対して\(\pi_{\alpha \in A_\beta} p' = p_\alpha \in U_{1-\beta-\alpha}\)である各ポイント\(p' \in T\)は、\(\times_{\alpha \in A} U_{1-\beta-\alpha} \subseteq U_1\)の中にあるということになる。\(\alpha_1\)を上記手順の\(\gamma\)として取ることができる、すると、各\(\alpha \in A_\beta \setminus \{\alpha_1\}\)に対して、\(\pi_{\alpha \in A_\beta \setminus \{\alpha_1\}} p' = p_\alpha \in U_{1-\beta-\alpha}\)を満たす各ポイント\(p' \in T\)は、\(U_1\)内にいるということになる、なぜなら、当該1つの\(p_{\alpha_1}\)は\(U_1\)内にいることが知られているから、\(T_{\alpha_1}\)全体が\(U_1\)内にいなければならない。次に、\(\alpha_2\)を上記手順の\(\gamma\)として取ることができ、すると、各\(\alpha \in A_\beta \setminus \{\alpha_1, \alpha_2\}\)に対して、\(\pi_{\alpha \in A_\beta \setminus \{\alpha_1, \alpha_2\}} p' = p_\alpha \in U_{1-\beta-\alpha}\)を満たす各ポイント\(p' \in T\)は、\(U_1\)内にいることになる、同様の理由によって、等々。結局、各ポイント\(p' \in T\)は\(U_1\)内にいることになる、矛盾。
