プロダクトトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それがクローズドサブセット（部分集合）たちでその内の有限個のみがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちの有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それが任意のクローズドサブセット（部分集合）たちでその内の有限個のみがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちのアンカウンタブル（不可算）かもしれない数の有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、そして、特に、サブセット（部分集合）たちの内の1つのみがスペース（空間）全体でない場合のみ、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述1
任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T = \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)、ここで、\(A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)はクローズド（閉）である、もしも、\(S\)は、任意のクローズドセット（閉集合）たちでその内の有限個のものたちだけがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちのアンカウンタブル（不可算）かもしれない数の有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である、つまり、\(S = \cap_{\beta \in B} \cup_{j \in J_\beta} \times_{\alpha \in A} C_{\beta-j-\alpha}\)、ここで、\(B\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、\(J_\beta\)は各\(\beta\)に対して任意の有限インデックスたちセット（集合）、各\((\beta, j)\)に対して、有限数のみの\(C_{\beta-j-\alpha}\)たちに対して、\(C_{\beta-j-\alpha} \neq T_\alpha\)、の場合、そしてその場合に限って、そして、特に、各\((\beta, j)\)に対して、1つだけの\(C_{\beta-j-\alpha}\)に対して\(C_{\beta-j-\alpha} \neq T_\alpha\)である場合に限って。
2: 証明1
最初に、\(S = \times_{\alpha \in A} C_{\alpha}\)、\(B = \{1\}\)および\(J_1 = \{1\}\)である簡略化されたケース、だと仮定しよう。\(S = T \setminus (\cup_i (\times_\alpha U_{i-\alpha}))\)、ここで、\(i\)は以下を満たす各\(\alpha\)、つまり、\(C_\alpha \neq T_\alpha\)、に対応し、\(\alpha = i\)である時は\(U_{i-\alpha} = T_\alpha \setminus C_\alpha\)でそうでなければ\(U_{i-\alpha} = T_\alpha\)、なぜなら、任意のポイント\(p \in S\)に対して、各\(i\)に対して、\(p_i \in C_i\)、各\(i\)に対して、\(p_i \notin U_{i-i}\)、したがって、各\(i\)に対して、\(p \notin \times_\alpha U_{i-\alpha}\)、したがって、\(p \notin \cup_i (\times_\alpha U_{i-\alpha})\); 任意のポイント\(p \in T \setminus (\cup_i (\times_\alpha U_{i-\alpha}))\)に対して、\(p \notin \cup_i (\times_\alpha U_{i-\alpha})\)、各\(i\)に対して、\(p \notin \times_\alpha U_{i-\alpha}\)、各\(i\)に対して、\(p_i \notin U_{i-i}\)、各\(i\)に対して、\(p_i \in C_i\)、したがって、\(p \in \times_\alpha C_\alpha = S\)。\(\cup_i (\times_\alpha U_{i-\alpha})\)はプロダクトトポロジーの定義によってオープン（開）であるから、\(S\)はクローズド（閉）である。
さて、\(S = \cap_{\beta \in B} \cup_{j \in J_\beta} \times_{\alpha \in A} C_{\beta-j-\alpha}\)だと仮定しよう。前パラグラフによって、\(\times_{\alpha \in A} C_{\beta-j-\alpha}\)はクローズド（閉）である、したがって、\(S\)はクローズド（閉）である、クローズドセット（閉集合）たちの有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）として。
\(S\)は任意のクローズドセット（閉集合）\(S \subseteq T\)であると仮定しよう。\(S = T \setminus \cup_{\beta \in B} \times_{\alpha \in A} U_{\beta-\alpha}\)、ここで、\(U_{\beta-\alpha}\)はオープン（開）であるが、有限個のみの\(\alpha\)たちに対して\(U_{\beta-\alpha} \neq T_\alpha\)である、プロダクトトポロジーの定義によって。\(S = \cap_{\beta \in B} (T \setminus \times_{\alpha \in A} U_{\beta-\alpha})\)、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。\(\times_{\alpha \in A} U_{\beta-\alpha} = \cap_i (\times_{\alpha \in A} U_{\beta-i-\alpha})\)、ここで、\(i\)は以下を満たす\(\alpha\)、つまり、\(U_{\beta-\alpha} \neq T_\alpha\)、に対応し、\(\alpha = i\)の時は\(U_{\beta-i-\alpha} = U_{\beta-\alpha}\)でそうでなければ\(U_{\beta-i-\alpha} = T_\alpha\)、なぜなら、任意の\(p \in \times_\alpha U_{\beta-\alpha}\)に対して、各\(i\)および\(\alpha\)に対して\(p_\alpha \in U_{\beta-i-\alpha}\)、なぜなら、もしも、\(\alpha = i\)である場合、\(p_i \in U_{\beta-i} = U_{\beta-i-i}\)、そうでなければ、\(p_\alpha \in T_\alpha = U_{\beta-i-\alpha}\)、したがって、各\(i\)に対して、\(p \in \times_{\alpha \in A} U_{\beta-i-\alpha}\); 任意の\(p \in \cap_i (\times_{\alpha \in A} U_{\beta-i-\alpha})\)に対して、各\(i\)に対して\(p \in \times_{\alpha \in A} U_{\beta-i-\alpha}\)、各\(i\)および\(\alpha\)に対して、\(p_\alpha \in U_{\beta-i-\alpha}\)、したがって、もしも、\(\alpha\)がある\(i\)である場合、\(p_i \in U_{\beta-i-i} = U_{\beta-\alpha}\)、そしてそうでない場合、\(p_\alpha \in T_\alpha = U_{\beta-\alpha}\)、したがって、\(p \in \times_\alpha U_{\beta-\alpha}\)。
したがって、\(S = \cap_{\beta \in B} (T \setminus (\cap_i (\times_{\alpha \in A} U_{\beta-i-\alpha}))) = \cap_{\beta \in B} \cup_i (T \setminus \times_{\alpha \in A} U_{\beta-i-\alpha})\)、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。しかし、上に示されたとおり（これは、\(\times_{\alpha \in A} C_{\alpha} = T \setminus (\cup_i (\times_\alpha U_{i-\alpha}))\)に対して、\(C_{\alpha} \neq T_{\alpha}\)である1つのみの\(C_{\alpha}\)があるケースである）、\(T \setminus \times_{\alpha \in A} U_{\beta-i-\alpha} = \times_{\alpha \in A} C_{\beta-i-\alpha}\)、ここで、\(C_{\beta-i-\alpha}\)たちはクローズドセット（閉集合）たちであり、\(\alpha = i\)に対して\(C_{\beta-i-\alpha} \neq T_\alpha\)であるばそうでない場合は\(C_{\beta-i-\alpha} = T_\alpha\)。したがって、\(S = \cap_{\beta \in B} \cup_i \times_{\alpha \in A} C_{\beta-i-\alpha}\)。
3: 記述2
任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T = T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)に対して、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)はクローズド（閉）である、もしも、\(S\)は、任意のクローズドセット（閉集合）たちでその内の有限個のものたちだけがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちのアンカウンタブル（不可算）かもしれない数の有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である、つまり、\(S = \cap_{\beta \in B} \cup_{j \in J} C_{\beta-j-1} \times C_{\beta-j-2} \times . . . \times C_{\beta-j-n}\)、ここで、\(B\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、\(J_\beta\)は各\(\beta\)に対して任意の有限インデックスたちセット（集合）、である場合、そしてその場合に限って、そして、特に、各\((\beta, j)\)に対して、1つだけの\(C_{\beta-j-i}\)に対して\(C_{\beta-j-i} \neq T_i\)である場合に限って。
4: 証明2
無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって、\(T\)は\(T' = \times_i T_i\)へホメオモーフィック（位相同形写像）、ここで、\(i \in \{1, 2, . . ., n\}\)、である、そして、記述1が\(T'\)へ適用できる。
\(S = \cap_{\beta \in B} \cup_{j \in J} C_{\beta-j-1} \times C_{\beta-j-2} \times . . . \times C_{\beta-j-n}\)は\(S' = \cap_{\beta \in B} \cup_{j \in J} \times_i C_{\beta-j-i}\)に対応するが、後者は記述1によってクローズド（閉）である、したがって、\(S\)は当該ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってクローズド（閉）である。
任意のクローズド（閉）\(S \in T\)に対して、対応する\(S'\)は\(S' = \cap_{\beta \in B} \cup_{j \in J_\beta} \times_\alpha C_{\beta-j-\alpha}\)であるが、それは、\(S = \cap_{\beta \in B} \cup_{j \in J_\beta} C_{\beta-j-1} \times C_{\beta-j-2} \times . . . \times C_{\beta-j-n}\)に対応する。
5: 注1
必要条件の"有限ユニオン（和集合）たち"部分は省略できない。例として、\(T_1 = \{1, 2\}\)および\(T_2 = \{1, 2\}\)でそれぞれディスクリートトポロジーを持つケースを考えよう。\(S = (\{2\} \times \{1, 2\}) \cup (\{1, 2\} \times \{2\})\)は\(T = T_1 \times T_2\)のクローズド（閉）サブセット（部分集合）である。しかし、\(S\)は\(\cap_{\beta \in B} C_{\beta-1} \times C_{\beta-2}\)として表現できない、なぜなら、任意のそうした\(C_{\beta-1} \times C_{\beta-2}\)は\(\{2\} \times \{1, 2\}\)と\(\{1, 2\} \times \{2\}\)の両方を包含しなければならない、そして、唯一の可能性は\(C_{\beta-1} \times C_{\beta-2} = \{1, 2\} \times \{1, 2\}\)であるが、それは\(S\)を生成できない。
6: 注2
無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題に述べられているとおり、\(T = T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)と\(T' = \times_i T_i\)は厳密に同じではない、なぜなら、\(T\)の任意の要素は\(\langle p_1, p_2, . . ., p_n \rangle\)のようなものである一方で\(T'\)の任意の要素はファンクション（関数）\(f: \{1, 2, . . ., n\} \rightarrow \cup_i T_i\)である、一部の人々はずさんに、それらは同一のものだと言うかもしれないが。記述2はいずれにせよ、ホメオモーフィズム（位相同形写像）性から明白に思えるかもしれないが、より明示的であるよう私たちは労をとった。
