278: プロダクトトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それがクローズドサブセット（部分集合）たちでその内の有限個のみがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちの有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って

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プロダクトトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それがクローズドサブセット（部分集合）たちでその内の有限個のみがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちの有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述1
• 2: 証明1
• 3: 記述2
• 4: 証明2
• 5: 注1
• 6: 注2

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それが任意のクローズドサブセット（部分集合）たちでその内の有限個のみがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちのアンカウンタブル（不可算）かもしれない数の有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、そして、特に、サブセット（部分集合）たちの内の1つのみがスペース（空間）全体でない場合のみ、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述1

任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）$T={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$はクローズド（閉）である、もしも、$S$は、任意のクローズドセット（閉集合）たちでその内の有限個のものたちだけがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちのアンカウンタブル（不可算）かもしれない数の有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である、つまり、$S={\cap }_{\beta \in B}{\cup }_{j\in J_{\beta }}{\times }_{\alpha \in A}{C}_{\beta -j-\alpha }$、ここで、$B$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、$J_{\beta }$は各$\beta$に対して任意の有限インデックスたちセット（集合）、各$(\beta ,j)$に対して、有限数のみの$C_{\beta -j-\alpha }$たちに対して、$C_{\beta -j-\alpha }\ne T_{\alpha }$、の場合、そしてその場合に限って、そして、特に、各$(\beta ,j)$に対して、1つだけの$C_{\beta -j-\alpha }$に対して$C_{\beta -j-\alpha }\ne T_{\alpha }$である場合に限って。

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2: 証明1

最初に、$S={\times }_{\alpha \in A}{C}_{\alpha }$、$B=\{1\}$および$J_1=\{1\}$である簡略化されたケース、だと仮定しよう。$S=T\setminus ({\cup }_i({\times }_{\alpha }{U}_{i-\alpha }))$、ここで、$i$は以下を満たす各$\alpha$、つまり、$C_{\alpha }\ne T_{\alpha }$、に対応し、$\alpha =i$である時は$U_{i-\alpha }=T_{\alpha }\setminus C_{\alpha }$でそうでなければ$U_{i-\alpha }=T_{\alpha }$、なぜなら、任意のポイント$p\in S$に対して、各$i$に対して、$p_i\in C_i$、各$i$に対して、$p_i\notin U_{i-i}$、したがって、各$i$に対して、$p\notin {\times }_{\alpha }{U}_{i-\alpha }$、したがって、$p\notin {\cup }_i({\times }_{\alpha }{U}_{i-\alpha })$; 任意のポイント$p\in T\setminus ({\cup }_i({\times }_{\alpha }{U}_{i-\alpha }))$に対して、$p\notin {\cup }_i({\times }_{\alpha }{U}_{i-\alpha })$、各$i$に対して、$p\notin {\times }_{\alpha }{U}_{i-\alpha }$、各$i$に対して、$p_i\notin U_{i-i}$、各$i$に対して、$p_i\in C_i$、したがって、$p\in {\times }_{\alpha }{C}_{\alpha }=S$。${\cup }_i({\times }_{\alpha }{U}_{i-\alpha })$はプロダクトトポロジーの定義によってオープン（開）であるから、$S$はクローズド（閉）である。

さて、$S={\cap }_{\beta \in B}{\cup }_{j\in J_{\beta }}{\times }_{\alpha \in A}{C}_{\beta -j-\alpha }$だと仮定しよう。前パラグラフによって、${\times }_{\alpha \in A}{C}_{\beta -j-\alpha }$はクローズド（閉）である、したがって、$S$はクローズド（閉）である、クローズドセット（閉集合）たちの有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）として。

$S$は任意のクローズドセット（閉集合）$S\subseteq T$であると仮定しよう。$S=T\setminus {\cup }_{\beta \in B}{\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta -\alpha }$、ここで、$U_{\beta -\alpha }$はオープン（開）であるが、有限個のみの$\alpha$たちに対して$U_{\beta -\alpha }\ne T_{\alpha }$である、プロダクトトポロジーの定義によって。$S={\cap }_{\beta \in B}(T\setminus {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta -\alpha })$、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。${\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta -\alpha }={\cap }_i({\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta -i-\alpha })$、ここで、$i$は以下を満たす$\alpha$、つまり、$U_{\beta -\alpha }\ne T_{\alpha }$、に対応し、$\alpha =i$の時は$U_{\beta -i-\alpha }=U_{\beta -\alpha }$でそうでなければ$U_{\beta -i-\alpha }=T_{\alpha }$、なぜなら、任意の$p\in {\times }_{\alpha }{U}_{\beta -\alpha }$に対して、各$i$および$\alpha$に対して$p_{\alpha }\in U_{\beta -i-\alpha }$、なぜなら、もしも、$\alpha =i$である場合、$p_i\in U_{\beta -i}=U_{\beta -i-i}$、そうでなければ、$p_{\alpha }\in T_{\alpha }=U_{\beta -i-\alpha }$、したがって、各$i$に対して、$p\in {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta -i-\alpha }$; 任意の$p\in {\cap }_i({\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta -i-\alpha })$に対して、各$i$に対して$p\in {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta -i-\alpha }$、各$i$および$\alpha$に対して、$p_{\alpha }\in U_{\beta -i-\alpha }$、したがって、もしも、$\alpha$がある$i$である場合、$p_i\in U_{\beta -i-i}=U_{\beta -\alpha }$、そしてそうでない場合、$p_{\alpha }\in T_{\alpha }=U_{\beta -\alpha }$、したがって、$p\in {\times }_{\alpha }{U}_{\beta -\alpha }$。

したがって、$S={\cap }_{\beta \in B}(T\setminus ({\cap }_i({\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta -i-\alpha })))={\cap }_{\beta \in B}{\cup }_i(T\setminus {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta -i-\alpha })$、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。しかし、上に示されたとおり（これは、${\times }_{\alpha \in A}{C}_{\alpha }=T\setminus ({\cup }_i({\times }_{\alpha }{U}_{i-\alpha }))$に対して、$C_{\alpha }\ne T_{\alpha }$である1つのみの$C_{\alpha }$があるケースである）、$T\setminus {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta -i-\alpha }={\times }_{\alpha \in A}{C}_{\beta -i-\alpha }$、ここで、$C_{\beta -i-\alpha }$たちはクローズドセット（閉集合）たちであり、$\alpha =i$に対して$C_{\beta -i-\alpha }\ne T_{\alpha }$であるばそうでない場合は$C_{\beta -i-\alpha }=T_{\alpha }$。したがって、$S={\cap }_{\beta \in B}{\cup }_i{\times }_{\alpha \in A}{C}_{\beta -i-\alpha }$。

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3: 記述2

任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）$T=T_1\times T_2\times ...\times T_n$に対して、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$はクローズド（閉）である、もしも、$S$は、任意のクローズドセット（閉集合）たちでその内の有限個のものたちだけがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちのアンカウンタブル（不可算）かもしれない数の有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である、つまり、$S={\cap }_{\beta \in B}{\cup }_{j\in J}{C}_{\beta -j-1}\times C_{\beta -j-2}\times ...\times C_{\beta -j-n}$、ここで、$B$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、$J_{\beta }$は各$\beta$に対して任意の有限インデックスたちセット（集合）、である場合、そしてその場合に限って、そして、特に、各$(\beta ,j)$に対して、1つだけの$C_{\beta -j-i}$に対して$C_{\beta -j-i}\ne T_i$である場合に限って。

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4: 証明2

無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって、$T$は$T^{\prime }={\times }_i{T}_i$へホメオモーフィック（位相同形写像）、ここで、$i\in \{1,2,...,n\}$、である、そして、記述1が$T^{\prime }$へ適用できる。

$S={\cap }_{\beta \in B}{\cup }_{j\in J}{C}_{\beta -j-1}\times C_{\beta -j-2}\times ...\times C_{\beta -j-n}$は$S^{\prime }={\cap }_{\beta \in B}{\cup }_{j\in J}{\times }_i{C}_{\beta -j-i}$に対応するが、後者は記述1によってクローズド（閉）である、したがって、$S$は当該ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってクローズド（閉）である。

任意のクローズド（閉）$S\in T$に対して、対応する$S^{\prime }$は$S^{\prime }={\cap }_{\beta \in B}{\cup }_{j\in J_{\beta }}{\times }_{\alpha }{C}_{\beta -j-\alpha }$であるが、それは、$S={\cap }_{\beta \in B}{\cup }_{j\in J_{\beta }}{C}_{\beta -j-1}\times C_{\beta -j-2}\times ...\times C_{\beta -j-n}$に対応する。

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5: 注1

必要条件の"有限ユニオン（和集合）たち"部分は省略できない。例として、$T_1=\{1,2\}$および$T_2=\{1,2\}$でそれぞれディスクリートトポロジーを持つケースを考えよう。$S=(\{2\}\times \{1,2\})\cup (\{1,2\}\times \{2\})$は$T=T_1\times T_2$のクローズド（閉）サブセット（部分集合）である。しかし、$S$は${\cap }_{\beta \in B}{C}_{\beta -1}\times C_{\beta -2}$として表現できない、なぜなら、任意のそうした$C_{\beta -1}\times C_{\beta -2}$は$\{2\}\times \{1,2\}$と$\{1,2\}\times \{2\}$の両方を包含しなければならない、そして、唯一の可能性は$C_{\beta -1}\times C_{\beta -2}=\{1,2\}\times \{1,2\}$であるが、それは$S$を生成できない。

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6: 注2

無限にできるタイプの任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）でインデックスたちセット（集合）が有限であるものは、対応する有限プロダクトトポロジカルスペース（空間）へホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題に述べられているとおり、$T=T_1\times T_2\times ...\times T_n$と$T^{\prime }={\times }_i{T}_i$は厳密に同じではない、なぜなら、$T$の任意の要素は$⟨p_1,p_2,...,p_n⟩$のようなものである一方で$T^{\prime }$の任意の要素はファンクション（関数）$f:\{1,2,...,n\}\to {\cup }_i{T}_i$である、一部の人々はずさんに、それらは同一のものだと言うかもしれないが。記述2はいずれにせよ、ホメオモーフィズム（位相同形写像）性から明白に思えるかもしれないが、より明示的であるよう私たちは労をとった。

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参考資料

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