300: サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）の中に包含されている

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サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）の中に包含されていることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$、任意のオープンサブセット（開部分集合）$U\subseteq T$に対して、$\bar{S}\cap U\subseteq \overline{S\cap U}$、ここで、上線たちはクロージャー（閉包）たちを表わす。

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2: 証明

任意のポイント$p\in \bar{S}\cap U$に対して、$p\in \bar{S}$および$p\in U$。もしも、$p\in S$であれば、$p\in \overline{S\cap U}$。もしも、$p\notin S$であれば、$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、$p$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T$に対して、$U_p\cap S\ne \mathrm{\varnothing }$。$U_p\cap (S\cap U)\ne \mathrm{\varnothing }$？$p\in U$であるので、$U_p\cap U\ne \mathrm{\varnothing }$、オープン（開）、そして、$p$のオープンネイバーフッド（開近傍）である、したがって、$U_p\cap (S\cap U)=(U_p\cap U)\cap S\ne \mathrm{\varnothing }$。したがって、$p$は$S\cap U$のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、$p\in \overline{S\cap U}$。

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参考資料

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