トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）の中に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
\(U\): \(\in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{S} \cap U \subseteq \overline{S \cap U}\)、ここで、当該オーバーラインたちは、\(T\)上のクロージャー（閉包）たちを表わす
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p \in \overline{S} \cap U\)を任意のものとする; ステップ2: \(p \in S\)である時、\(p \in \overline{S \cap U}\)であることを見る; ステップ3: \(p \notin S\)である時、\(p \in \overline{S \cap U}\)であることを見る。
ステップ1:
任意のポイント\(p \in \overline{S} \cap U\)に対して、\(p \in \overline{S}\)および\(p \in U\)。
ステップ2:
\(p \in S\)である時、\(p \in \overline{S \cap U}\)。
ステップ3:
\(p \notin S\)である時、\(p\)は\(S\)のアキュームレーション（集積）ポイントである、したがって、\(p\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T\)に対して、\(U_p \cap S \neq \emptyset\)。
\(U_p \cap (S \cap U) \neq \emptyset\)？
\(p \in U\)であるから、\(U_p \cap U \neq \emptyset\)、オープン（開）、そして、\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、したがって、\(U_p \cap (S \cap U) = (U_p \cap U) \cap S \neq \emptyset\)。したがって、\(p\)は\(S \cap U\)のアキュームレーション（集積）ポイントである、したがって、\(p \in \overline{S \cap U}\)。
3: 注
\(U\)は本命題においてオープン（開）でなければならない: 例えば、もしも、\(U\)がオープン（開）でない場合、以下は、反例である: \(T = \mathbb{R}\)でユークリディアントポロジーを持つもの、\(U = [0, 1]\)、\(S = (-1, 0)\)、すると、\(\overline{S} \cap U = [-1, 0] \cap [0, 1] = \{0\}\)、その一方で、\(\overline{S \cap U} = \overline{\emptyset} = \emptyset\)。そういう反例は、\(U\)がオープン（開）である時はうまくいかない、なぜなら、もしも、\(U = (0, 1)\)である場合、\(\overline{S} \cap U = [-1, 0] \cap (0, 1) = \emptyset\)、そして、もしも、任意の\(0 \lt p \lt 1\)に対して\(U = (-p, 1)\)である場合、\(\overline{S} \cap U = [-1, 0] \cap (-p, 1) = (-p, 0]\)および\(\overline{S \cap U} = \overline{(-p, 0)} = [-p, 0]\)。
