サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）の中に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)、任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T\)に対して、\(\overline{S} \cap U \subseteq \overline{S \cap U}\)、ここで、上線たちはクロージャー（閉包）たちを表わす。
2: 証明
任意のポイント\(p \in \overline{S} \cap U\)に対して、\(p \in \overline{S}\)および\(p \in U\)。もしも、\(p \in S\)であれば、\(p \in \overline{S \cap U}\)。もしも、\(p \notin S\)であれば、\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、\(p\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T\)に対して、\(U_p \cap S \neq \emptyset\)。\(U_p \cap (S \cap U) \neq \emptyset\)？\(p \in U\)であるので、\(U_p \cap U \neq \emptyset\)、オープン（開）、そして、\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、したがって、\(U_p \cap (S \cap U) = (U_p \cap U) \cap S \neq \emptyset\)。したがって、\(p\)は\(S \cap U\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、\(p \in \overline{S \cap U}\)。
