2023年6月11日日曜日

300: トポロジカルスペース(空間)に対して、サブセット(部分集合)のクロージャー(閉包)とオープンサブセット(開部分集合)のインターセクション(共通集合)はサブセット(部分集合)とオープンサブセット(開部分集合)のインターセクション(共通集合)のクロージャー(閉包)の中に包含されている

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トポロジカルスペース(空間)に対して、サブセット(部分集合)のクロージャー(閉包)とオープンサブセット(開部分集合)のインターセクション(共通集合)はサブセット(部分集合)とオープンサブセット(開部分集合)のインターセクション(共通集合)のクロージャー(閉包)の中に包含されていることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)に対して、任意のサブセット(部分集合)のクロージャー(閉包)と任意のオープンサブセット(開部分集合)のインターセクション(共通集合)は当該サブセット(部分集合)と当該オープンサブセット(開部分集合)のインターセクション(共通集合)のクロージャー(閉包)に包含されているという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
\(U\): \(\in \{T \text{ の全てのオープンサブセット(開部分集合)たち }\}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(\overline{S} \cap U \subseteq \overline{S \cap U}\)、ここで、当該オーバーラインたちは、\(T\)上のクロージャー(閉包)たちを表わす
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: \(p \in \overline{S} \cap U\)を任意のものとする; ステップ2: \(p \in S\)である時、\(p \in \overline{S \cap U}\)であることを見る; ステップ3: \(p \notin S\)である時、\(p \in \overline{S \cap U}\)であることを見る。

ステップ1:

任意のポイント\(p \in \overline{S} \cap U\)に対して、\(p \in \overline{S}\)および\(p \in U\)。

ステップ2:

\(p \in S\)である時、\(p \in \overline{S \cap U}\)。

ステップ3:

\(p \notin S\)である時、\(p\)は\(S\)のアキュームレーション(集積)ポイントである、したがって、\(p\)の任意のオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_p \subseteq T\)に対して、\(U_p \cap S \neq \emptyset\)。

\(U_p \cap (S \cap U) \neq \emptyset\)?

\(p \in U\)であるから、\(U_p \cap U \neq \emptyset\)、オープン(開)、そして、\(p\)のオープンネイバーフッド(開近傍)である、したがって、\(U_p \cap (S \cap U) = (U_p \cap U) \cap S \neq \emptyset\)。したがって、\(p\)は\(S \cap U\)のアキュームレーション(集積)ポイントである、したがって、\(p \in \overline{S \cap U}\)。


3: 注


\(U\)は本命題においてオープン(開)でなければならない: 例えば、もしも、\(U\)がオープン(開)でない場合、以下は、反例である: \(T = \mathbb{R}\)でユークリディアントポロジーを持つもの、\(U = [0, 1]\)、\(S = (-1, 0)\)、すると、\(\overline{S} \cap U = [-1, 0] \cap [0, 1] = \{0\}\)、その一方で、\(\overline{S \cap U} = \overline{\emptyset} = \emptyset\)。そういう反例は、\(U\)がオープン(開)である時はうまくいかない、なぜなら、もしも、\(U = (0, 1)\)である場合、\(\overline{S} \cap U = [-1, 0] \cap (0, 1) = \emptyset\)、そして、もしも、任意の\(0 \lt p \lt 1\)に対して\(U = (-p, 1)\)である場合、\(\overline{S} \cap U = [-1, 0] \cap (-p, 1) = (-p, 0]\)および\(\overline{S \cap U} = \overline{(-p, 0)} = [-p, 0]\)。


参考資料


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