ハウスドルフマキシマル（極大）プリンシプル: パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のチェイン（鎖）はマキシマル（極大）チェイン（鎖）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ハウスドルフマキシマル（極大）プリンシプル: 任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）の任意のチェイン（鎖）はあるマキシマル（極大）チェイン（鎖）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードセット（半順序集合）たち }\}\)で、任意のパーシャルオーダリング（半順序）\(\lt_S\)を持つもの
\(C\): \(= \{S \text{ の全てのチェイン（鎖）たち }\}\)で、以下を満たすパーシャルオーダリング（半順序）\(\lt_C\)、つまり、\(c_1 \lt_C c_2 \iff c_1 \subset c_2\)、を持つもの
\(c\): \(\in C\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists c' \in \{C \text{ の全てのマキシマル（極大）要素たち }\} (c \subseteq c')\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(C\)はあるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）であることを見る; ステップ2: \(S\)のチェイン（鎖）たちで\(c\)を包含するものたち全てのセット（集合）\(C^` \subseteq C\)でオーダリング（順序）\(\lt_{C^`}\)を包含として持つものを取り、ゾーンの補助定理: 任意のセット（集合）で各非空チェイン（鎖）に対してチェイン（鎖）のユニオン（和集合）が当該セット（集合）のある要素であるものに対して、当該セット（集合）はあるマキシマル（極大）要素を持つを適用してあるマキシマル（極大）要素\(c'\)を得る; ステップ3: \(c'\)は本命題に対するコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(C\)は本当にあるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）である、任意のセット（集合）でオーダリング（順序）を包含として持つものは、あるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）であるという命題によって。
したがって、\(C\)のマキシマル（極大）要素たちのセット（集合）について語ることは意味をなす、当該セット（集合）は非空であるとは知られていないものの、まだ。
ステップ2:
\(S\)のチェイン（鎖）たちで\(c\)を包含するものたち全てのセット（集合）\(C^` \subseteq C\)でオーダリング（順序）\(\lt_{C^`}\)を包含として持つものを取ろう、それは、あるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）である、前と同様。
\(C^`\)の任意の非空チェイン（鎖）\(\{c_j \vert j \in J\} \subseteq C^`\)、ここで、\(J\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、に対して、\(\cup_{j \in J} c_j \in C^`\)、なぜなら、\(\cup_{j \in J} c_j \subseteq S\)、なぜなら、各\(p \in \cup_{j \in J} c_j\)に対して、\(p \in c_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(p \in c_j \subseteq S\); \(c \subseteq \cup_{j \in J} c_j\)、なぜなら、各\(p \in c\)に対して、\(p \in c \subseteq c_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(p \in \cup_{j \in J} c_j\); \(\cup_{j \in J} c_j\)は\(S\)のあるチェイン（鎖）である、なぜなら、各\(p_1, p_2 \in \cup_{j \in J} c_j\)に対して、ある\(j \in J\)に対して\(p_1, p_2 \in c_j\)である時は、\(p_1 \le p_2\)または\(p_2 \lt p_1\)、なぜなら、\(c_j\)は\(S\)のあるチェイン（鎖）である、何らかの\(j \neq l\)に対して\(p_1 \in c_j\)および\(p_2 \in c_l\)である時は、\(c_j \subset c_l\)または\(c_l \subset c_j\)、なぜなら、\(\{c_j \vert j \in J\}\)は\(C^`\)のあるチェイン（鎖）である、したがって、\(p_1, p_2 \in c_l\)または\(p_1, p_2 \in c_j\)、そして、\(p_1 \le p_2\)または\(p_2 \lt p_1\)、なぜなら、\(c_l\)および\(c_j\)は\(S\)の何らかのチェイン（鎖）たちである。
したがって、ゾーンの補助定理: 任意のセット（集合）で各非空チェイン（鎖）に対してチェイン（鎖）のユニオン（和集合）が当該セット（集合）のある要素であるものに対して、当該セット（集合）はあるマキシマル（極大）要素を持つによって、\(C^`\)はあるマキシマル（極大）要素\(c' \in C^`\)を持つ。
\(c' \in C^` \subseteq C\)は\(C\)のあるマキシマル（極大）要素である、なぜなら、もしも、以下を満たすある\(c'' \in C\)、つまり、\(c' \subset c''\)、があったら、\(c \subseteq c' \subset c''\)、それが意味することになるのは、\(c'' \in C^`\)、\(c'\)は\(C^`\)内でマキシマル（極大）であったことに反する矛盾。
したがって、\(c'\)は、本命題に対するコンディションたちを満たすものである。
