313: ハウスドルフマキシマル（最大）プリンシプル（律）: パーシャリーオーダードセット（半順序集合）内のチェイン（鎖）はマキシマル（最大）チェイン（鎖）に包含されている

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ハウスドルフマキシマル（最大）プリンシプル（律）: パーシャリーオーダードセット（半順序集合）内のチェイン（鎖）はマキシマル（最大）チェイン（鎖）に包含されていることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）内のチェイン（鎖）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）のマキシマル（最大）要素の定義を知っている。
• 読者は、ゾーンのレンマ（補助定理）: 任意のセット（集合）で、任意のチェイン（鎖）に対してチェイン（鎖）のユニオン（和集合）は当該セット（集合）のメンバーであるもの、に対して、当該セット（集合）はマキシマル（最大）要素を持っているを認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ハウスドルフマキシマル（最大）プリンシプル（律）: 任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）内の任意のチェイン（鎖）はあるマキシマル（最大）チェイン（鎖）内に包含されている、の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）$⟨S,R⟩$に対して、任意のチェイン（鎖）$S_1\subseteq S$はあるマキシマル（最大）チェイン（鎖）$S_2\subseteq S$に包含されている、ここで、'マキシマル（最大）チェイン（鎖）'は、全てのチェイン（鎖）たちのセット（集合）のインクルージョン（包含）オーダリング（順序）によるマキシマル（最大）要素を意味する、ただし、複数のマキシマル（最大）チェイン（鎖）たちがあるかもしれない。

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2: 証明

$S$内の、$S_1$を包含する全てのチェイン（鎖）たちのセット（集合）にインクルージョン（包含）オーダリング（順序）を付けたものをを取り、$S^{\prime }$と表わそう。$S^{\prime }$は実際にセット（集合）である、$S$のパワーセット（べき集合）のサブセット（部分集合）として（サブセット（部分集合）公理のためのフォーミュラが求められるが、ここでは省略する）。$S^{\prime }$はパーシャリーオーダード（半順序）である、なぜなら、1) 任意の$p\in S^{\prime }$に対して、$\mathrm{\neg }p\subset p$; 2) 以下を満たす任意の$p_1,p_2,p_3\in S^{\prime }$、つまり、$p_1\subset p_2$および$p_2\subset p_3$、に対して、$p_1\subset p_3$。$S^{\prime }$内の任意のチェイン（鎖）$\{S_{\alpha }|\alpha \in A\}\subseteq S^{\prime }$、ここで、$A$はアンカウンタブルかもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、$S^{″}:={\cup }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$は$S^{\prime }$のメンバーである、なぜなら、$S^{″}$は$S$のサブセット（部分集合）である; $S_1\subseteq S^{″}$; $S^{″}$は$S$内のチェイン（鎖）である、なぜなら、任意の$p_1,p_2\in S^{″}$に対して、もしも、$p_1,p_2\in S_{\alpha }$であれば、$p_1\subseteq p_2$または$p_2\subseteq p_1$、なぜなら、$S_{\alpha }$はチェイン（鎖）である、そして、もしも、$S_{\alpha }\ne S_{\beta }$に対して、$p_1\in S_{\alpha }$で$p_2\in S_{\beta }$であれば、$S_{\alpha }\subseteq S_{\beta }$または$S_{\beta }\subseteq S_{\alpha }$、なぜなら、$\{S_{\alpha }\}$はチェイン（鎖）である、したがって、$p_1,p_2\in S_{\alpha }$または$p_1,p_2\in S_{\beta }$である、結局のところ。したがって、ゾーンのレンマ（補助定理）: 任意のセット（集合）で、任意のチェイン（鎖）に対してチェイン（鎖）のユニオン（和集合）は当該セット（集合）のメンバーであるもの、に対して、当該セット（集合）はマキシマル（最大）要素を持っているによって、あるマキシマル（最大）要素$S_2\in S^{\prime }$がある。$S_1\subseteq S_2$。$S_2$は$S$内の全てのチェイン（鎖）たちのセット（集合）内においてもマキシマル（最大）である、なぜなら、もしも、以下を満たすあるチェイン（鎖）$S_3\subseteq S$、つまり、$S_2\subset S_3$、があったとしたら、$S_3$は$S_1$を包含することになるだろう、したがって、$S_3$は$S^{\prime }$内にいることになるだろう、そして、$S_2$は$S^{\prime }$内でマキシマル（最大）ではないということになるだろう、矛盾。

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参考資料

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