ハウスドルフマキシマル（最大）プリンシプル（律）: パーシャリーオーダードセット（半順序集合）内のチェイン（鎖）はマキシマル（最大）チェイン（鎖）に包含されていることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）内のチェイン（鎖）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のマキシマル（最大）要素の定義を知っている。
- 読者は、ゾーンのレンマ（補助定理）: 任意のセット（集合）で、任意のチェイン（鎖）に対してチェイン（鎖）のユニオン（和集合）は当該セット（集合）のメンバーであるもの、に対して、当該セット（集合）はマキシマル（最大）要素を持っているを認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ハウスドルフマキシマル（最大）プリンシプル（律）: 任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）内の任意のチェイン（鎖）はあるマキシマル（最大）チェイン（鎖）内に包含されている、の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）\(\langle S, R \rangle\)に対して、任意のチェイン（鎖）\(S_1 \subseteq S\)はあるマキシマル（最大）チェイン（鎖）\(S_2 \subseteq S\)に包含されている、ここで、'マキシマル（最大）チェイン（鎖）'は、全てのチェイン（鎖）たちのセット（集合）のインクルージョン（包含）オーダリング（順序）によるマキシマル（最大）要素を意味する、ただし、複数のマキシマル（最大）チェイン（鎖）たちがあるかもしれない。
2: 証明
\(S\)内の、\(S_1\)を包含する全てのチェイン（鎖）たちのセット（集合）にインクルージョン（包含）オーダリング（順序）を付けたものをを取り、\(S'\)と表わそう。\(S'\)は実際にセット（集合）である、\(S\)のパワーセット（べき集合）のサブセット（部分集合）として（サブセット（部分集合）公理のためのフォーミュラが求められるが、ここでは省略する）。\(S'\)はパーシャリーオーダード（半順序）である、なぜなら、1) 任意の\(p \in S'\)に対して、\(\lnot p \subset p\); 2) 以下を満たす任意の\(p_1, p_2, p_3 \in S'\)、つまり、\(p_1 \subset p_2\)および\(p_2 \subset p_3\)、に対して、\(p_1 \subset p_3\)。\(S'\)内の任意のチェイン（鎖）\(\{S_\alpha \vert \alpha \in A\} \subseteq S'\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブルかもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、\(S'' := \cup_{\alpha \in A} S_\alpha\)は\(S'\)のメンバーである、なぜなら、\(S''\)は\(S\)のサブセット（部分集合）である; \(S_1 \subseteq S''\); \(S''\)は\(S\)内のチェイン（鎖）である、なぜなら、任意の\(p_1, p_2 \in S''\)に対して、もしも、\(p_1, p_2 \in S_\alpha\)であれば、\(p_1 \subseteq p_2\)または\(p_2 \subseteq p_1\)、なぜなら、\(S_\alpha\)はチェイン（鎖）である、そして、もしも、\(S_\alpha \neq S_\beta\)に対して、\(p_1 \in S_\alpha\)で\(p_2 \in S_\beta\)であれば、\(S_\alpha \subseteq S_\beta\)または\(S_\beta \subseteq S_\alpha\)、なぜなら、\(\{S_\alpha\}\)はチェイン（鎖）である、したがって、\(p_1, p_2 \in S_\alpha\)または\(p_1, p_2 \in S_\beta\)である、結局のところ。したがって、ゾーンのレンマ（補助定理）: 任意のセット（集合）で、任意のチェイン（鎖）に対してチェイン（鎖）のユニオン（和集合）は当該セット（集合）のメンバーであるもの、に対して、当該セット（集合）はマキシマル（最大）要素を持っているによって、あるマキシマル（最大）要素\(S_2 \in S'\)がある。\(S_1 \subseteq S_2\)。\(S_2\)は\(S\)内の全てのチェイン（鎖）たちのセット（集合）内においてもマキシマル（最大）である、なぜなら、もしも、以下を満たすあるチェイン（鎖）\(S_3 \subseteq S\)、つまり、\(S_2 \subset S_3\)、があったとしたら、\(S_3\)は\(S_1\)を包含することになるだろう、したがって、\(S_3\)は\(S'\)内にいることになるだろう、そして、\(S_2\)は\(S'\)内でマキシマル（最大）ではないということになるだろう、矛盾。
