314: トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）である

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トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述1
• 2: 証明1
• 3: 記述2
• 4: 証明2

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述1

アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たち$\{T_{\alpha }^{\prime }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）およびそれらのサブスペース（部分空間）たち$\{T_{\alpha }\subseteq T_{\alpha }^{\prime }|\alpha \in A\}$に対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクト$T={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$はベーススペース（空間）たちのプロダクト$T^{\prime }={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }^{\prime }$のサブスペース（部分空間）である。

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2: 証明1

$T$をプロダクトスペース（空間）とした時の任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T$に対して、$U={\cup }_{\beta \in B}{\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }$、ここで、$B$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）であり、$U_{\alpha ,\beta }\subseteq T_{\alpha }$は$T_{\alpha }$のオープンサブセット（開部分集合）で、各$\beta$に対して、$U_{\alpha ,\beta }$たちの内の有限個のみが$T_{\alpha }$でない、プロダクトトポロジーの定義についての記事の注に記述されているとおり。$U_{\alpha ,\beta }=U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap T_{\alpha }$、ここで、$U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\subseteq T_{\alpha }^{\prime }$は$T_{\alpha }^{\prime }$上でオープン（開）であり、各$\beta$に対して、$U_{\alpha ,\beta }^{\prime }$たちの内の有限個のみが$T_{\alpha }^{\prime }$でない。

${\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }={\times }_{\alpha \in A}(U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap T_{\alpha })={\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap {\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$、なぜなら、任意の$p\in {\times }_{\alpha \in A}(U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap T_{\alpha })$に対して、$p(\alpha )\in U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap T_{\alpha }$、$p\in {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }^{\prime }$かつ$p\in {\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$、$p\in {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap {\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$; 任意の$p\in {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap {\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$に対して、$p(\alpha )\in U_{\alpha ,\beta }^{\prime }$かつ$p(\alpha )\in T_{\alpha }$、$p(\alpha )\in U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap T_{\alpha }$、$p\in {\times }_{\alpha \in A}(U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap T_{\alpha })$。

${\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }^{\prime }$は$T^{\prime }$上でオープン（開）であるので、$U$は$T^{\prime }$のサブスペース（部分空間）としての$T$のオープンセット（開集合）である。

$T$を$T^{\prime }$のサブスペース（部分空間）とした時の任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T$に対して、$U=U^{\prime }\cap T$、ここで、$U^{\prime }\subseteq T^{\prime }$は$T^{\prime }$のオープンセット（開集合）。$U^{\prime }={\cup }_{\beta \in B}{\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }^{\prime }$、ここで、$B$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）であり、$U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\subseteq T_{\alpha }^{\prime }$は$T_{\alpha }^{\prime }$上のオープンサブセット（部分集合）で、各$\beta$に対して、$U_{\alpha ,\beta }^{\prime }$たちの内の有限個のみが$T_{\alpha }^{\prime }$でない、プロダクトトポロジーの定義についての記事の注に記述されているとおり。

$U=({\cup }_{\beta \in B}{\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }^{\prime })\cap T={\cup }_{\beta \in B}({\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap {\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha })={\cup }_{\beta \in B}({\times }_{\alpha \in A}(U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap T_{\alpha }))$、上記に示されたとおり。

$U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap T_{\alpha }$は$T_{\alpha }$上でオープン、ここで、$U_{\alpha ,\beta }^{\prime }\cap T_{\alpha }$の内の有限個のみが$T_{\alpha }$でない、であるので、$U$はプロダクトスペース（空間）としての$T$のオープンサブセット（開部分集合）である。

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3: 記述2

有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1^{\prime },T_2^{\prime },...,T_n^{\prime }$およびそれらのサブスペース（部分空間）たち$T_1\subseteq T_1^{\prime },T_2\subseteq T_2^{\prime },...,T_n\subseteq T_n^{\prime }$に対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクト$T=T_1\times T_2\times ...\times T_n$はベーススペース（空間）たちのプロダクト$T^{\prime }=T_1^{\prime }\times T_2^{\prime }\times ...\times T_n^{\prime }$のサブスペース（部分空間）である。

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4: 証明2

$T$をプロダクトスペース（空間）とした時の任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T$に対して、$U={\cup }_{\alpha \in A}{U}_{1-\alpha }\times U_{2-\alpha }\times ...\times U_{n-\alpha }$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）であり、$U_{i-\alpha }\subseteq T_i$は$T_i$上のオープンセット（開集合）である、プロダクトトポロジーの定義についての記事の注に記述されているとおり。$U_{i-\alpha }=U_{i-\alpha }^{\prime }\cap T_i$、ここで、$U_{i-\alpha }^{\prime }\subseteq T_i^{\prime }$は$T_i^{\prime }$上でオープン（開）である。

$U_{1-\alpha }\times U_{2-\alpha }\times ...\times U_{n-\alpha }=(U_{1-\alpha }^{\prime }\cap T_1)\times (U_{2-\alpha }^{\prime }\cap T_2)\times ...\times (U_{n-\alpha }^{\prime }\cap T_n)=(U_{1-\alpha }^{\prime }\times U_{2-\alpha }^{\prime }\times ...\times U_{n-\alpha }^{\prime })\cap (T_1\times T_2\times ...\times T_n)$、なぜなら、任意の$p\in (U_{1-\alpha }^{\prime }\cap T_1)\times (U_{2-\alpha }\cap T_2)\times ...\times (U_{n-\alpha }\cap T_n)$に対して、$p=⟨p_1,p_2,...,p_n⟩$、$p_i\in U_{i-\alpha }^{\prime }\cap T_i$、$p\in U_{1-\alpha }^{\prime }\times U_{2-\alpha }^{\prime }\times ...\times U_{n-\alpha }^{\prime }$ and $p\in T_1\times T_2\times ...\times T_n$、$p\in (U_{1-\alpha }^{\prime }\times U_{2-\alpha }^{\prime }\times ...\times U_{n-\alpha }^{\prime })\cap (T_1\times T_2\times ...\times T_n)$; 任意の$p\in (U_{1-\alpha }^{\prime }\times U_{2-\alpha }^{\prime }\times ...\times U_{n-\alpha }^{\prime })\cap (T_1\times T_2\times ...\times T_n)$に対して、$p=⟨p_1,p_2,...,p_n⟩$、$p_i\in U_{i-\alpha }^{\prime }$かつ$p_i\in T_i$、$p_i\in U_{i-\alpha }^{\prime }\cap T_i$、$p\in (U_{1-\alpha }^{\prime }\cap T_1)\times (U_{2-\alpha }^{\prime }\cap T_2)\times ...\times (U_{n-\alpha }^{\prime }\cap T_n)$。$(U_{1-\alpha }^{\prime }\times U_{2-\alpha }^{\prime }\times ...\times U_{n-\alpha }^{\prime })$は$T^{\prime }$上でオープン（開）であるので、$U$は$T^{\prime }$のサブスペース（部分空間）としての$T$のオープンセット（開集合）である。

$T$を$T^{\prime }$のサブスペース（部分空間）とした時の任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T$に対して、$U=U^{\prime }\cap T$、ここで、$U^{\prime }\subseteq T^{\prime }$は$T^{\prime }$上のオープンセット（開集合）。$U^{\prime }={\cup }_{\alpha \in A}{U}_{1-\alpha }^{\prime }\times U_{2-\alpha }^{\prime }\times ...\times U_{n-\alpha }^{\prime }$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）であり、$U_{i-\alpha }^{\prime }\subseteq T_i^{\prime }$は$T_i^{\prime }$のオープンセット（開集合）である、プロダクトトポロジーの定義についての記事の注に記述されているとおり。

$U=({\cup }_{\alpha \in A}{U}_{1-\alpha }^{\prime }\times U_{2-\alpha }^{\prime }\times ...\times U_{n-\alpha }^{\prime })\cap T={\cup }_{\alpha \in A}((U_{1-\alpha }^{\prime }\times U_{2-\alpha }^{\prime }\times ...\times U_{n-\alpha }^{\prime })\cap T)$。しかし、$(U_{1-\alpha }^{\prime }\times U_{2-\alpha }^{\prime }\times ...\times U_{n-\alpha }^{\prime })\cap T=(U_{1-\alpha }^{\prime }\cap T_1)\times (U_{2-\alpha }^{\prime }\cap T_2)\times ...\times (U_{n-\alpha }^{\prime }\cap T_n)$、上記に示されたとおり。$U_{i-\alpha }^{\prime }\cap T_i$は$T_i$上でオープン（開）であるので、$U$はプロダクトスペース（空間）としての$T$のオープンセット（開集合）である。

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参考資料

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