トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述1
アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たち\(\{T'_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）およびそれらのサブスペース（部分空間）たち\(\{T_\alpha \subseteq T'_\alpha \vert \alpha \in A\}\)に対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクト\(T = \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)はベーススペース（空間）たちのプロダクト\(T' = \times_{\alpha \in A} T'_\alpha\)のサブスペース（部分空間）である。
2: 証明1
\(T\)をプロダクトスペース（空間）とした時の任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)に対して、\(U = \cup_{\beta \in B} \times_{\alpha \in A} U_{\alpha, \beta}\)、ここで、\(B\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）であり、\(U_{\alpha, \beta} \subseteq T_\alpha\)は\(T_\alpha\)のオープンサブセット（開部分集合）で、各\(\beta\)に対して、\(U_{\alpha, \beta}\)たちの内の有限個のみが\(T_\alpha\)でない、プロダクトトポロジーの定義についての記事の注に記述されているとおり。\(U_{\alpha, \beta} = U'_{\alpha, \beta} \cap T_\alpha\)、ここで、\(U'_{\alpha, \beta} \subseteq T'_\alpha\)は\(T'_\alpha\)上でオープン（開）であり、各\(\beta\)に対して、\(U'_{\alpha, \beta}\)たちの内の有限個のみが\(T'_\alpha\)でない。
\(\times_{\alpha \in A} U_{\alpha, \beta} = \times_{\alpha \in A} (U'_{\alpha, \beta} \cap T_\alpha) = \times_{\alpha \in A} U'_{\alpha, \beta} \cap \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)、なぜなら、任意の\(p \in \times_{\alpha \in A} (U'_{\alpha, \beta} \cap T_\alpha)\)に対して、\(p (\alpha) \in U'_{\alpha, \beta} \cap T_\alpha\)、\(p \in \times_{\alpha \in A} U'_{\alpha, \beta}\)かつ\(p \in \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)、\(p \in \times_{\alpha \in A} U'_{\alpha, \beta} \cap \times_{\alpha \in A} T_\alpha\); 任意の\(p \in \times_{\alpha \in A} U'_{\alpha, \beta} \cap \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)に対して、\(p (\alpha) \in U'_{\alpha, \beta}\)かつ\(p (\alpha) \in T_\alpha\)、\(p (\alpha) \in U'_{\alpha, \beta} \cap T_\alpha\)、\(p \in \times_{\alpha \in A} (U'_{\alpha, \beta} \cap T_\alpha)\)。
\(\times_{\alpha \in A} U'_{\alpha, \beta}\)は\(T'\)上でオープン（開）であるので、\(U\)は\(T'\)のサブスペース（部分空間）としての\(T\)のオープンセット（開集合）である。
\(T\)を\(T'\)のサブスペース（部分空間）とした時の任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)に対して、\(U = U' \cap T\)、ここで、\(U' \subseteq T'\)は\(T'\)のオープンセット（開集合）。\(U' = \cup_{\beta \in B} \times_{\alpha \in A} U'_{\alpha, \beta}\)、ここで、\(B\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）であり、\(U'_{\alpha, \beta} \subseteq T'_\alpha\)は\(T'_\alpha\)上のオープンサブセット（部分集合）で、各\(\beta\)に対して、\(U'_{\alpha, \beta}\)たちの内の有限個のみが\(T'_\alpha\)でない、プロダクトトポロジーの定義についての記事の注に記述されているとおり。
\(U = (\cup_{\beta \in B} \times_{\alpha \in A} U'_{\alpha, \beta}) \cap T = \cup_{\beta \in B} (\times_{\alpha \in A} U'_{\alpha, \beta} \cap \times_{\alpha \in A} T_\alpha) = \cup_{\beta \in B} (\times_{\alpha \in A} (U'_{\alpha, \beta} \cap T_\alpha))\)、上記に示されたとおり。
\(U'_{\alpha, \beta} \cap T_\alpha\)は\(T_\alpha\)上でオープン、ここで、\(U'_{\alpha, \beta} \cap T_\alpha\)の内の有限個のみが\(T_\alpha\)でない、であるので、\(U\)はプロダクトスペース（空間）としての\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
3: 記述2
有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T'_1, T'_2, . . ., T'_n\)およびそれらのサブスペース（部分空間）たち\(T_1 \subseteq T'_1, T_2 \subseteq T'_2, . . ., T_n \subseteq T'_n\)に対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクト\(T = T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)はベーススペース（空間）たちのプロダクト\(T' = T'_1 \times T'_2 \times . . . \times T'_n\)のサブスペース（部分空間）である。
4: 証明2
\(T\)をプロダクトスペース（空間）とした時の任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)に対して、\(U = \cup_{\alpha \in A} U_{1-\alpha} \times U_{2-\alpha} \times . . . \times U_{n-\alpha}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）であり、\(U_{i-\alpha} \subseteq T_i\)は\(T_i\)上のオープンセット（開集合）である、プロダクトトポロジーの定義についての記事の注に記述されているとおり。\(U_{i-\alpha} = U'_{i-\alpha} \cap T_i\)、ここで、\(U'_{i-\alpha} \subseteq T'_i\)は\(T'_i\)上でオープン（開）である。
\(U_{1-\alpha} \times U_{2-\alpha} \times . . . \times U_{n-\alpha} = (U'_{1-\alpha} \cap T_1) \times (U'_{2-\alpha} \cap T_2) \times . . . \times (U'_{n-\alpha} \cap T_n) = (U'_{1-\alpha} \times U'_{2-\alpha} \times . . . \times U'_{n-\alpha}) \cap (T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n)\)、なぜなら、任意の\(p \in (U'_{1-\alpha} \cap T_1) \times (U_{2-\alpha} \cap T_2) \times . . . \times (U_{n-\alpha} \cap T_n)\)に対して、\(p = \langle p_1, p_2, . . ., p_n \rangle\)、\(p_i \in U'_{i-\alpha} \cap T_i\)、\(p \in U'_{1-\alpha} \times U'_{2-\alpha} \times . . . \times U'_{n-\alpha}\) and \(p \in T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)、\(p \in (U'_{1-\alpha} \times U'_{2-\alpha} \times . . . \times U'_{n-\alpha}) \cap (T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n)\); 任意の\(p \in (U'_{1-\alpha} \times U'_{2-\alpha} \times . . . \times U'_{n-\alpha}) \cap (T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n)\)に対して、\(p = \langle p_1, p_2, . . ., p_n \rangle\)、\(p_i \in U'_{i-\alpha}\)かつ\(p_i \in T_i\)、\(p_i \in U'_{i-\alpha} \cap T_i\)、\(p \in (U'_{1-\alpha} \cap T_1) \times (U'_{2-\alpha} \cap T_2) \times . . . \times (U'_{n-\alpha} \cap T_n)\)。\((U'_{1-\alpha} \times U'_{2-\alpha} \times . . . \times U'_{n-\alpha})\)は\(T'\)上でオープン（開）であるので、\(U\)は\(T'\)のサブスペース（部分空間）としての\(T\)のオープンセット（開集合）である。
\(T\)を\(T'\)のサブスペース（部分空間）とした時の任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)に対して、\(U = U' \cap T\)、ここで、\(U' \subseteq T'\)は\(T'\)上のオープンセット（開集合）。\(U' = \cup_{\alpha \in A} U'_{1-\alpha} \times U'_{2-\alpha} \times . . . \times U'_{n-\alpha}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）であり、\(U'_{i-\alpha} \subseteq T'_i\)は\(T'_i\)のオープンセット（開集合）である、プロダクトトポロジーの定義についての記事の注に記述されているとおり。
\(U = (\cup_{\alpha \in A} U'_{1-\alpha} \times U'_{2-\alpha} \times . . . \times U'_{n-\alpha}) \cap T = \cup_{\alpha \in A} ((U'_{1-\alpha} \times U'_{2-\alpha} \times . . . \times U'_{n-\alpha}) \cap T)\)。しかし、\((U'_{1-\alpha} \times U'_{2-\alpha} \times . . . \times U'_{n-\alpha}) \cap T = (U'_{1-\alpha} \cap T_1) \times (U'_{2-\alpha} \cap T_2) \times . . . \times (U'_{n-\alpha} \cap T_n)\)、上記に示されたとおり。\(U'_{i-\alpha} \cap T_i\)は\(T_i\)上でオープン（開）であるので、\(U\)はプロダクトスペース（空間）としての\(T\)のオープンセット（開集合）である。
