298: トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は必ずしもサブスペース（部分空間）上でコンパクトではない

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トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は必ずしもサブスペース（部分空間）上でコンパクトではないことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、あるトポロジカルスペース（空間）に対して、あるコンパクトサブセット（部分集合）とあるサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は必ずしも当該サブスペース（部分空間）上でコンパクトでないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

あるトポロジカルスペース（空間）$T$、あるコンパクトサブセット（部分集合）$S\subseteq T$、あるサブスペース（部分空間）$T_1\subseteq T$に対して、インターセクション（共通集合）$S\cap T_1$は必ずしも$T_1$上でコンパクトではない。

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2: 証明

一つの反例で十分だ。$T={\mathbb{R}}^2$でユークリディアントポロジーを持ったもの、$S=\overline{B_{p-ϵ}}$、$T_1=B_{p-ϵ}$、ここで、$B_{p-ϵ}$は$p$を中心とする$ϵ$-半径のオープンボール（開球）であり、上線はクロージャー（閉包）を示す、を取ろう。$S\cap T_1=B_{p-ϵ}$は$B_{p-ϵ}$上でコンパクトでない。

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3: 注

もしも、$S\subseteq T_1$であれば、$S$は必ず$T_1$上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題によって。その違いに注意しよう。

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参考資料

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