トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は必ずしもサブスペース（部分空間）上でコンパクトではないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるトポロジカルスペース（空間）に対して、あるコンパクトサブセット（部分集合）とあるサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は必ずしも当該サブスペース（部分空間）上でコンパクトでないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
あるトポロジカルスペース（空間）\(T\)、あるコンパクトサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)、あるサブスペース（部分空間）\(T_1 \subseteq T\)に対して、インターセクション（共通集合）\(S \cap T_1\)は必ずしも\(T_1\)上でコンパクトではない。
2: 証明
一つの反例で十分だ。\(T = \mathbb{R}^2\)でユークリディアントポロジーを持ったもの、\(S = \overline{B_{p-\epsilon}}\)、\(T_1 = B_{p-\epsilon}\)、ここで、\(B_{p-\epsilon}\)は\(p\)を中心とする\(\epsilon\)-半径のオープンボール（開球）であり、上線はクロージャー（閉包）を示す、を取ろう。\(S \cap T_1 = B_{p-\epsilon}\)は\(B_{p-\epsilon}\)上でコンパクトでない。
3: 注
もしも、\(S \subseteq T_1\)であれば、\(S\)は必ず\(T_1\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題によって。その違いに注意しよう。
