トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）に対して、オープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はオープンセット（開集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）に対して、当該カバー（被覆）内の任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該オープンセット（開集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）\(\{U_\alpha \subseteq T\vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないオープンセット（開集合）たち\(\{U_\beta \vert \beta \in B\}\)、ここで、\(B \subseteq A\)、に対して、\(\overline{\cup_{\beta \in B} U_\beta} = \cup_{\beta \in B} \overline{U_\beta}\)。
2: 証明
\(U := \cup_{\beta \in B} U_\beta\)。
任意の\(p \in \overline{U}\)に対して、\(p \in U\)、または、\(p \notin U\)かつ\(p\)は\(U\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。もしも、\(p \in U\)であれば、ある\(\beta \in B\)に対して、\(p \in U_\beta\)、したがって、\(p \in \cup_{\beta \in B} \overline{U_\beta}\)。もしも、\(p \notin U\)かつ\(p\)は\(U\)のアキューミュレーションポイント（集積点）、であれば、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、\(N_p \cap U \neq \emptyset\)。実のところ、ある固定された\(\beta \in B\)に対して、\(N_p \cap U_\beta \neq \emptyset\)、なぜなら、もしも、各\(\beta \in B\)に対して、\(N_{p-\beta} \cap U_\beta = \emptyset\)を満たすある\(p\)ネイバーフッド（近傍）\(N_{p-\beta}\)があったら、\(U_\alpha\)たち、ここで、\(\alpha \in A\)、の内の有限数のもの（\(\{U_\gamma\vert \gamma \in C\}\)、ここで、\(C\)は有限インデックスたちセット（集合）と記す）、のみとインターセクトするある\(p\)ネイバーフッド（近傍）\(N_p\)があり、\(C' := C \cap B\)。\(C' \neq \emptyset\)、なぜなら、もしも、\(C' = \emptyset\)であったら、各\(\beta \in B\) に対して、\(N_p \cap U_\beta = \emptyset\)、すると、\(N_p \cap U = \emptyset\)、\(p\)が\(U\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であることに反する矛盾; \(N_p \cap \cap_{\gamma' \in C'} N_{p-\gamma'}\)は\(p\)のネイバーフッド（近傍）であるということになり、\(\beta \in B\)であるどの\(U_\beta\)にもインターセクトしないことになるだろう、すると、それは\(U\)とインターセクトしないだろう、\(p\)が'\(U\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であることに反する矛盾。したがって、\(p\)はある\(\beta \in B\)に対する\(U_\beta\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、\(p \in \overline{U_\beta}\)。したがって、\(p \in \cup_{\beta \in B} \overline{U_\beta}\)。
任意の\(p \in \cup_{\beta \in B} \overline{U_\beta}\)に対して、ある\(\beta \in B\)に対して、\(p \in \overline{U_\beta}\)。\(p \in U_\beta\)、または、\(p \notin U_\beta\)かつ\(p\)は\(U_\beta\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である。もしも、\(p \in U_\beta\)であれば、\(p \in U\)、したがって、\(p \in \overline{U}\)。もしも、\(p \notin U_\beta\)かつ\(p\)は\(U_\beta\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であれば、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p\)に対して、\(N_p \cap U_\beta \neq \emptyset\)、したがって、\(N_p \cap U \neq \emptyset\)、したがって、\(p\)は\(U\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である。したがって、\(p \in \overline{U}\)。
