315: トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）に対して、オープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はオープンセット（開集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）である

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トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）に対して、オープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はオープンセット（開集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なカバーの定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
• 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）に対して、当該カバー（被覆）内の任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないオープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該オープンセット（開集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }\subseteq T|\alpha \in A\}$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないオープンセット（開集合）たち$\{U_{\beta }|\beta \in B\}$、ここで、$B\subseteq A$、に対して、$\overline{{\cup }_{\beta \in B}{U}_{\beta }}={\cup }_{\beta \in B}\overline{U_{\beta }}$。

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2: 証明

$U:={\cup }_{\beta \in B}{U}_{\beta }$。

任意の$p\in \bar{U}$に対して、$p\in U$、または、$p\notin U$かつ$p$は$U$のアキューミュレーションポイント（集積点）である、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。もしも、$p\in U$であれば、ある$\beta \in B$に対して、$p\in U_{\beta }$、したがって、$p\in {\cup }_{\beta \in B}\overline{U_{\beta }}$。もしも、$p\notin U$かつ$p$は$U$のアキューミュレーションポイント（集積点）、であれば、$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$に対して、$N_p\cap U\ne \mathrm{\varnothing }$。実のところ、ある固定された$\beta \in B$に対して、$N_p\cap U_{\beta }\ne \mathrm{\varnothing }$、なぜなら、もしも、各$\beta \in B$に対して、$N_{p-\beta }\cap U_{\beta }=\mathrm{\varnothing }$を満たすある$p$ネイバーフッド（近傍）$N_{p-\beta }$があったら、$U_{\alpha }$たち、ここで、$\alpha \in A$、の内の有限数のもの（$\{U_{\gamma }|\gamma \in C\}$、ここで、$C$は有限インデックスたちセット（集合）と記す）、のみとインターセクトするある$p$ネイバーフッド（近傍）$N_p$があり、$C^{\prime }:=C\cap B$。$C^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }$、なぜなら、もしも、$C^{\prime }=\mathrm{\varnothing }$であったら、各$\beta \in B$ に対して、$N_p\cap U_{\beta }=\mathrm{\varnothing }$、すると、$N_p\cap U=\mathrm{\varnothing }$、$p$が$U$のアキューミュレーションポイント（集積点）であることに反する矛盾; $N_p\cap {\cap }_{{\gamma }^{\prime }\in C^{\prime }}{N}_{p-{\gamma }^{\prime }}$は$p$のネイバーフッド（近傍）であるということになり、$\beta \in B$であるどの$U_{\beta }$にもインターセクトしないことになるだろう、すると、それは$U$とインターセクトしないだろう、$p$が'$U$のアキューミュレーションポイント（集積点）であることに反する矛盾。したがって、$p$はある$\beta \in B$に対する$U_{\beta }$のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、$p\in \overline{U_{\beta }}$。したがって、$p\in {\cup }_{\beta \in B}\overline{U_{\beta }}$。

任意の$p\in {\cup }_{\beta \in B}\overline{U_{\beta }}$に対して、ある$\beta \in B$に対して、$p\in \overline{U_{\beta }}$。$p\in U_{\beta }$、または、$p\notin U_{\beta }$かつ$p$は$U_{\beta }$のアキューミュレーションポイント（集積点）である。もしも、$p\in U_{\beta }$であれば、$p\in U$、したがって、$p\in \bar{U}$。もしも、$p\notin U_{\beta }$かつ$p$は$U_{\beta }$のアキューミュレーションポイント（集積点）であれば、$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p$に対して、$N_p\cap U_{\beta }\ne \mathrm{\varnothing }$、したがって、$N_p\cap U\ne \mathrm{\varnothing }$、したがって、$p$は$U$のアキューミュレーションポイント（集積点）である。したがって、$p\in \bar{U}$。

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参考資料

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