\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのリング（環）は\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、\(n \times n\)リング（環）マトリックス（行列）たちのリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）の任意のマルチプリカブル（積を取ることができる）（前者マトリックス（行列）のブロックたちと）同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、全ての\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのリング（環）は\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）-\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）間'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{H}\): \(= \text{ クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環） }\)
\(R\): \(= \{\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ \overline{- c_2} & \overline{c_1} \end{pmatrix} \vert c_1, c_2 \in \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）アディション（加法）およびマルチプリケーション（乗法）を持つもの
\(f\): \(: \mathbb{H} \to R\), \(= \text{ 'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題内で挙げられた
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(M_n (\mathbb{H})\): \(= \text{ 全ての } n \times n \text{ クォータニオン（4元数）たちマトリックス（行列）たちのリング（環） }\)で、カノニカル（正典）アディション（加法）およびマルチプリケーション（乗法）を持つもの
\(M_{2 n} (\mathbb{C})\): \(= \text{ 全ての } 2 n \times 2 n \text{ コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環） }\)で、カノニカル（正典）アディション（加法）およびマルチプリケーション（乗法）を持つもの
\(f'\): \(: M_n (\mathbb{H}) \to M_{2 n} (\mathbb{C})\)、それは、\(M_n (\mathbb{H})\)の各要素を\(f\)のイメージ（像）で置換する
\(f''\): \(: M_n (\mathbb{H}) \to f' (M_n (\mathbb{H}))\)、\(f'\)の当該コドメイン（余域）リストリクション（制限）として
//
ステートメント（言明）たち:
\(f'' \in \{\text{ 全ての'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(M_n (\mathbb{H})\) and \(M_{2 n} (\mathbb{C})\) are some rings; Step 2: see that \(f'\) is a ring homomorphism; Step 3: see that \(f'\) is an injection; Step 4: conclude the proposition.
Step 1:
\(M_n (\mathbb{H})\) and \(M_{2 n} (\mathbb{C})\) are some rings, by Note for the definition of ring of \(n \times n\) ring matrices.
Step 2:
\(f' (0) = 0\), because \(f (0) = 0\).
\(f' (1) = 1\), because \(f (1) = 1\) and \(f (0) = 0\).
Let \(M_1, M_2 \in M_n (\mathbb{H})\) be any.
\(f' (M_1 + M_2) = f' (M_1) + f' (M_2)\), because for each \((M_1 + M_2)^j_l\), \(f ((M_1 + M_2)^j_l) = f ({M_1}^j_l + {M_2}^j_l) = f ({M_1}^j_l) + f ({M_2}^j_l)\), because \(f\) is a ring homomorphism, which is the \((j, l)\)-th \(2 \times 2\) block of \(f' (M_1 + M_2)\), but the corresponding \(2 \times 2\) block of \(f' (M_1) + f' (M_2)\) is \(f ({M_1}^j_l) + f ({M_2}^j_l)\).
As for \(f' (M_1 M_2)\), for each \((M_1 M_2)^j_l\), \(f ((M_1 M_2)^j_l) = f ({M_1}^j_m {M_2}^m_l) = \sum_{m \in \{1, ..., n\}} f ({M_1}^j_m {M_2}^m_l) = \sum_{m \in \{1, ..., n\}} f ({M_1}^j_m) f ({M_2}^m_l)\), because \(f\) is a ring homomorphism, which is the \((j, l)\)-th \(2 \times 2\) block of \(f' (M_1 M_2)\), but the corresponding \(2 \times 2\) block of \(f' (M_1) f' (M_2)\) is \(\sum_{m \in \{1, ..., n\}} f ({M_1}^j_m) f ({M_2}^m_l)\), by the the proposition that the multiplication of any matrix made of any same size blocks by any matrix made of blocks of any multiplicable (with blocks of the former matrix) same size is blocks-wise, so, \(f' (M_1 M_2) = f' (M_1) f' (M_2)\).
So, \(f'\) is a ring homomorphism.
Step 3:
\(f'\) is an injection, because for each \(M_1 \neq M_2\), \({M_1}^j_l \neq {M_2}^j_l\) for a \((j, l)\), and \(f ({M_1}^j_l) \neq f ({M_2}^j_l)\), because \(f\) is a 'rings - homomorphisms' isomorphism, so, \(f' (M_1) \neq f' (M_2)\), because the corresponding \(2 \times 2\) blocks are different.
Step 4:
\(f' (M_n (\mathbb{H})) \subseteq M_{2 n} (\mathbb{C})\) is a subring, by the proposition that the range of any ring homomorphism is a subring of the codomain.
So, \(f''\) is a map from a ring into a ring.
\(f''\) is a ring homomorphism, because it is just a codomain restriction of ring homomorphic \(f'\).
\(f''\) is a bijection, obviously.
So, \(f''\) is a 'rings - homomorphisms' isomorphism, by the proposition that any bijective ring homomorphism is a 'rings - homomorphisms' isomorphism.
