342: n x nクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）は対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である

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n x nクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）は対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、クォータニオン（4元数）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）の定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、全クォータニオン（4元数）たちのセット（集合）は対応する2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たち全てのセット（集合）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）の任意のマルチプリカブル（積を取ることができる）（前者マトリックス（行列）のブロックたちと）同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、全n x nクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）は対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たち全てのセット（集合）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、全クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）と対応する2-x-2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たち全てのセット（集合）の間の'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

マップ（写像）$f^{″}:M_n(\mathbb{H})\to M_{2n}(\mathbb{C})$を定義しよう、クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）の各要素を対応する2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）で置き換える、'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$f^{\prime }$によって、ことによって。すると、$f^{″}$のコドメイン（余域）についてのリストリクション（限定）$f:M_n(\mathbb{H})\to f^{″}(M_n(\mathbb{H}))$は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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2: 証明

$f$がリング（環）たちホモモーフィズム（準同形写像）であることを証明しよう。$M_1,M_2$は任意の$M_1,M_2\in M_n(\mathbb{H})$であるとしよう。

アディション（加法）については、$f(M_1+M_2)=f(M_1)+f(M_2)$、なぜなら、$f(M_1+M_2)$内の任意の2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）$f^{\prime }(M_{1,i,j}+M_{2,i,j})=f^{\prime }(M_{1,i,j})+f^{\prime }(M_{2,i,j})$、なぜなら、$f^{\prime }$はリング（環）たちホモモーフィック（準同形写像）であるから、そして、$f^{\prime }(M_{1,i,j})+f^{\prime }(M_{2,i,j})$は$f(M_1)+f(M_2)$内の対応する2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）である。

マルチプリケーション（乗法）については、$f(M_1{M}_2)$内の各2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）$M_3$に対して、$M_3=f^{\prime }(\sum _j{M}_{1,i,j}{M}_{2,j,k})=\sum _j{f}^{\prime }(M_{1,i,j})f^{\prime }(M_{2,j,k})$、なぜなら、$f^{\prime }$はリング（環）たちホモモーフィズム（準同形写像）であるから、そして、$\sum _j{f}^{\prime }(M_{1,i,j})f^{\prime }(M_{2,j,k})$は$f(M_1)f(M_2)$内の対応する2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）である、なぜなら、$f(M_1)f(M_2)$はブロックたち毎マルチプリケーション（積）である、ここで、各2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）が1ブロックである、任意の同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）の任意のマルチプリカブル（積を取ることができる）（前者マトリックス（行列）のブロックたちと）同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎であるという命題によって。したがって、$f(M_1{M}_2)=f(M_1)f(M_2)$。

$f$はバイジェクション（全単射）であることを証明しよう。

もしも、$M_1\ne M_2$である場合、$f(M_1)\ne f(M_2)$、なぜなら、$f^{\prime }$はバイジェクティブ（全単射）である。したがって、$f$はインジェクティブ（単射）である。$f$は明らかにサージェクティブ（全射）である、なぜなら、コドメイン（余域）はイメージ（像）にリストリクテッド（限定されている）から。

したがって、インバース（逆）$f^{-1}$がある。

$f^{-1}$はリング（環）たちホモモーフィズム（準同形写像）であることを証明しよう。$f(M_1),f(M_2)$は任意の$f(M_1),f(M_2)\in f(M_n(\mathbb{H}))$であるとしよう。

アディション（加法）については、$f^{-1}(f(M_1)+f(M_2))=f^{-1}(f(M_1))+f^{-1}(f(M_2))$、なぜなら、$f^{-1}(f(M_1)+f(M_2))=f^{-1}(f(M_1+M_2))=M_1+M_2=f^{-1}(f(M_1))+f^{-1}(f(M_2))$。

マルチプリケーション（乗法）については、$f^{-1}(f(M_1)f(M_2))=f^{-1}(f(M_1{M}_2))=M_1{M}_2=f^{\prime -1}(f(M_1))f^{-1}(f(M_2))$。

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参考資料

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