サブスペース（部分空間）トポロジーの特性プロパティの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）に対して、任意のトポロジカルスペース（空間）から当該サブスペース（部分空間）への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）の後に当該サブスペース（部分空間）の当該スーパースペース（空間）へのインクルージョン（封入）を行なうコンポジション（合成）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、そして、当該サブスペース（部分空間）トポロジーは、当該サブスペース（部分空間）にそのプロパティを持たせるユニークなトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_2\)および任意のサブスペース（部分空間）\(T_3 \subseteq T_2\)に対して、任意のトポロジカルスペース（空間）からのマップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_3\)はコンティニュアス（連続）である、もしも、\(\iota \circ f: T_1 \rightarrow T_3 \rightarrow T_2\)、ここで、\(\iota: T_3 \rightarrow T_2\)はインクルージョン（封入）マップ（写像）、がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って。そして、当該サブスペース（部分空間）トポロジーは当該サブスペース（部分空間）にそのプロパティを持たせるユニークなトポロジーである。
2: 証明
\(\iota \circ f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_3\)に対して、\(U = U' \cap T_3\)、ここで、\(U' \subseteq T_2\)は\(T_2\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。\(f^{-1} (U) = (\iota \circ f)^{-1} (U')\)、なぜなら、\((\iota \circ f)^{-1} (U') = f^{-1} \circ \iota^{-1} (U') = f^{-1} (U' \cap T_3) = f^{-1} (U)\)。したがって、\(f^{-1} (U)\)はオープン（開）である、したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のオープンセット（開集合）\(U' \subseteq T_2\)に対して、\((\iota \circ f)^{-1} (U') = f^{-1} \circ \iota^{-1} (U') = f^{-1} (U' \cap T_3)\)。したがって、\((\iota \circ f)^{-1} (U')\)はオープン（開）である、したがって、\(\iota \circ f\)はコンティニュアス（連続）である。
\(T'_3\)は\(T_3\)のセット（集合）を持つがサブスペース（部分空間）トポロジーではないかもしれないトポロジーを持ち当該プロパティを持つと仮定しよう。\(T_1\)を\(T'_3\)であると取り\(f\)をアイデンティマップ（恒等写像）であると取ろう。すると、\(f\)はコンティニュアス（連続）であり、\(\iota \circ f\)はコンティニュアス（連続）である。任意のオープンセット（開集合）\(U' \subseteq T_2\)に対して、\((\iota \circ f)^{-1} (U') = U' \cap T_3\)は\(T'_3\)上でオープン（開）である。したがって、\(T'_3\)はサブスペース（部分空間）トポロジーかそれより大きなトポロジーを持つ。\(T_1\)を\(T_3\)（ サブスペース（部分空間）トポロジーを持つ）であると取り、\(f\)をアイデンティマップ（恒等写像）であると取ろう。任意の\(U' \subseteq T_2\)に対して、\((\iota \circ f)^{-1} (U') = U' \cap T_3\)、\(T_3\)上でオープン（開）。したがって、\(\iota \circ f\)はコンティニュアス（連続）であり、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T'_3\)に対して、\(f^{-1} (U) = U\)は\(T_3\)上でオープン（開）である。したがって、\(T'_3\はより大きなトポロジーは持たない、結局。
