2023年10月1日日曜日

376: サブスペース（部分空間）トポロジーの特性プロパティ

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サブスペース（部分空間）トポロジーの特性プロパティの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）に対して、任意のトポロジカルスペース（空間）から当該サブスペース（部分空間）への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）の後に当該サブスペース（部分空間）の当該スーパースペース（空間）へのインクルージョン（封入）を行なうコンポジション（合成）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、そして、当該サブスペース（部分空間）トポロジーは、当該サブスペース（部分空間）にそのプロパティを持たせるユニークなトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のトポロジカルスペース（空間）T2および任意のサブスペース（部分空間）T3⊆T2に対して、任意のトポロジカルスペース（空間）からのマップ（写像）f:T1→T3はコンティニュアス（連続）である、もしも、ι∘f:T1→T3→T2、ここで、ι:T3→T2はインクルージョン（封入）マップ（写像）、がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って。そして、当該サブスペース（部分空間）トポロジーは当該サブスペース（部分空間）にそのプロパティを持たせるユニークなトポロジーである。

2: 証明


ι∘fはコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のオープンセット（開集合）U⊆T3に対して、U=U′∩T3、ここで、U′⊆T2はT2上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。f−1(U)=(ι∘f)−1(U′)、なぜなら、(ι∘f)−1(U′)=f−1∘ι−1(U′)=f−1(U′∩T3)=f−1(U)。したがって、f−1(U)はオープン（開）である、したがって、fはコンティニュアス（連続）である。

fはコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のオープンセット（開集合）U′⊆T2に対して、(ι∘f)−1(U′)=f−1∘ι−1(U′)=f−1(U′∩T3)。したがって、(ι∘f)−1(U′)はオープン（開）である、したがって、ι∘fはコンティニュアス（連続）である。

T3′はT3のセット（集合）を持つがサブスペース（部分空間）トポロジーではないかもしれないトポロジーを持ち当該プロパティを持つと仮定しよう。T1をT3′であると取りfをアイデンティマップ（恒等写像）であると取ろう。すると、fはコンティニュアス（連続）であり、ι∘fはコンティニュアス（連続）である。任意のオープンセット（開集合）U′⊆T2に対して、(ι∘f)−1(U′)=U′∩T3はT3′上でオープン（開）である。したがって、T3′はサブスペース（部分空間）トポロジーかそれより大きなトポロジーを持つ。T1をT3（ サブスペース（部分空間）トポロジーを持つ）であると取り、fをアイデンティマップ（恒等写像）であると取ろう。任意のU′⊆T2に対して、(ι∘f)−1(U′)=U′∩T3、T3上でオープン（開）。したがって、ι∘fはコンティニュアス（連続）であり、fはコンティニュアス（連続）である。任意のオープンセット（開集合）U⊆T3′に対して、f−1(U)=UはT3上でオープン（開）である。したがって、\(T'_3\はより大きなトポロジーは持たない、結局。

参考資料
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