378: ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）の特性プロパティ

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）の特性プロパティの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、当該ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、各構成員スペース（空間）から当該ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）へのインクルージョン（封入）の後に当該マップ（写像）を行なうコンポジションはコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、そして、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーは当該ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）にそのプロパティを持たせるユニークなトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）$T_1=\coprod _{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$、ここで、$\alpha \in A$はアンカウンタブルかもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、に対して、任意のトポロジカルスペース（空間）への任意のマップ（写像）$f:T_1\to T_2$はコンティニュアス（連続）である、もしも、$f\circ {\iota }_{\alpha }:T_{\alpha }\to T_1\to T_2$、ここで、${\iota }_{\alpha }:T_{\alpha }\to T_1$はインクルージョンマップ（封入写像）、がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って。そして、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーは当該ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）にそのプロパティを持たせるユニークなトポロジーである。

---

2: 証明

$f\circ {\iota }_{\alpha }$はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_2$に対して、$(f\circ {\iota }_{\alpha }{)}^{-1}(U)={{\iota }_{\alpha }}^{-1}\circ f^{-1}(U)=f^{-1}(U)\cap T_{\alpha }$はオープン（開）である。したがって、$f^{-1}(U)$はオープン（開）である、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義によって。したがって、$f$はコンティニュアス（連続）である。

$f$はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_2$に対して、$f^{-1}(U)$はオープン（開）である。$f^{-1}(U)\cap T_{\alpha }$はオープン（開）である、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義によって。$(f\circ {\iota }_{\alpha }{)}^{-1}(U)={{\iota }_{\alpha }}^{-1}\circ f^{-1}(U)=f^{-1}(U)\cap T_{\alpha }$、オープン（開）。したがって、$f\circ {\iota }_{\alpha }$はコンティニュアス（連続）である。

$T_1^{\prime }$は$T_1$のセット（集合）を持つがディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーではないかもしれないトポロジーを持ち当該プロパティを満たすと仮定しよう。$T_2$を$T_1^{\prime }$であると取り$f$をアイデンティマップ（恒等写像）であると取ろう。すると、$f$はコンティニュアス（連続）であり$f\circ {\iota }_{\alpha }$はコンティニュアス（連続）である。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_1^{\prime }$に対して、$(f\circ {\iota }_{\alpha }{)}^{-1}(U)=U\cap T_{\alpha }$は$T_{\alpha }$上でオープン（開）である。したがって、$T_2^{\prime }$はディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーかそれより小さなトポロジーを持つ。$T_2$を$T_1$（ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーを持つ）であると取り$f$をアイデンティマップ（恒等写像）であると取ろう。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_1$に対して、$(f\circ {\iota }_{\alpha }{)}^{-1}(U)=U\cap T_{\alpha }$は$T_{\alpha }$上でオープン（開）である。集合、$f\circ {\iota }_{\alpha }$はコンティニュアス（連続）であり$f$はコンティニュアス（連続）である。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_1$に対して、$f^{-1}(U)=U$は$T_1^{\prime }$上でオープン（開）である。したがって、$T_1^{\prime }$はより小さなトポロジーを持たない、結局。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>