ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）の特性プロパティの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、当該ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、各構成員スペース（空間）から当該ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）へのインクルージョン（封入）の後に当該マップ（写像）を行なうコンポジションはコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、そして、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーは当該ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）にそのプロパティを持たせるユニークなトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）\(T_1 = \coprod_{\alpha \in A} T_\alpha\)、ここで、\(\alpha \in A\)はアンカウンタブルかもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、に対して、任意のトポロジカルスペース（空間）への任意のマップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)はコンティニュアス（連続）である、もしも、\(f \circ \iota_\alpha: T_\alpha \rightarrow T_1 \rightarrow T_2\)、ここで、\(\iota_\alpha: T_\alpha \rightarrow T_1\)はインクルージョンマップ（封入写像）、がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って。そして、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーは当該ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）にそのプロパティを持たせるユニークなトポロジーである。
2: 証明
\(f \circ \iota_\alpha\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_2\)に対して、\((f \circ \iota_\alpha)^{-1} (U) = {\iota_\alpha}^{-1} \circ f^{-1} (U) = f^{-1} (U) \cap T_\alpha\)はオープン（開）である。したがって、\(f^{-1} (U)\)はオープン（開）である、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義によって。したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_2\)に対して、\(f^{-1} (U)\)はオープン（開）である。\(f^{-1} (U) \cap T_\alpha\)はオープン（開）である、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義によって。\((f \circ \iota_\alpha)^{-1} (U) = {\iota_\alpha}^{-1} \circ f^{-1} (U) = f^{-1} (U) \cap T_\alpha\)、オープン（開）。したがって、\(f \circ \iota_\alpha\)はコンティニュアス（連続）である。
\(T'_1\)は\(T_1\)のセット（集合）を持つがディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーではないかもしれないトポロジーを持ち当該プロパティを満たすと仮定しよう。\(T_2\)を\(T'_1\)であると取り\(f\)をアイデンティマップ（恒等写像）であると取ろう。すると、\(f\)はコンティニュアス（連続）であり\(f \circ \iota_\alpha\)はコンティニュアス（連続）である。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T'_1\)に対して、\((f \circ \iota_\alpha)^{-1} (U) = U \cap T_\alpha\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）である。したがって、\(T'_2\)はディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーかそれより小さなトポロジーを持つ。\(T_2\)を\(T_1\)（ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーを持つ）であると取り\(f\)をアイデンティマップ（恒等写像）であると取ろう。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_1\)に対して、\((f \circ \iota_\alpha)^{-1} (U) = U \cap T_\alpha\)は\(T_\alpha\)上でオープン（開）である。集合、\(f \circ \iota_\alpha\)はコンティニュアス（連続）であり\(f\)はコンティニュアス（連続）である。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_1\)に対して、\(f^{-1} (U) = U\)は\(T'_1\)上でオープン（開）である。したがって、\(T'_1\)はより小さなトポロジーを持たない、結局。
