プロダクトトポロジーの特性プロパティの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）上の、任意のポイントへコンバージ（収束）する全てのネットに対して、当該ネットの後に当該マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）が当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）する場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）への任意のネットはあるポイントへ収束する、もしも、当該ネット後の各構成要素スペース（空間）へのプロジェクションが当該ポイントの対応するコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のトポロジカルスペース（空間）からの当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）への任意のマップ（写像）コンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）の後に当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）の各構成員スペース（空間）へのプロジェクション（投影）を行なうコンポジション（合成）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、そして、プロダクトトポロジーは当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）にそのプロパティを持たせるユニークなトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T_2 = \times_{\alpha} T_\alpha\)、ここで、\(\alpha \in A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、に対して、任意のトポロジカルスペース（空間）からの任意のマップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)はコンティニュアス（連続）である、もしも、\(\pi_\alpha \circ f: T_1 \rightarrow T_2 \rightarrow T_\alpha\)、ここで、\(\pi_\alpha: T_2 \rightarrow T_\alpha\)はプロジェクションマップ（投影写像）、がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って。そして、プロダクトトポロジーは当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）にそのプロパティを持たせるユニークなトポロジーである。
2: 証明
\(\pi_\alpha \circ f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のネット\(n: D \rightarrow T_1\)で\(p \in T_1\)へコンバージ（収束）するものに対して、\(\pi_\alpha \circ f \circ n\)は\(\pi_\alpha \circ f (p)\)へコンバージ（収束）する、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）上の、任意のポイントへコンバージ（収束）する全てのネットに対して、当該ネットの後に当該マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）が当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）する場合、そしてその場合に限って、という命題によって。したがって、\(f \circ n\)は\(f (p)\)へコンバージ（収束）する、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）への任意のネットはあるポイントへ収束する、もしも、当該ネット後の各構成要素スペース（空間）へのプロジェクションが当該ポイントの対応するコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限ってという命題によって。したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）上の、任意のポイントへコンバージ（収束）する全てのネットに対して、当該ネットの後に当該マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）が当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）する場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のネット\(n: D \rightarrow T_1\)で\(p \in T_1\)へコンバージ（収束）するものに対して、\(f \circ n\)は\(f (p)\)へコンバージ（収束）する、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）上の、任意のポイントへコンバージ（収束）する全てのネットに対して、当該ネットの後に当該マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）が当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）する場合、そしてその場合に限って、という命題によって。\(\pi_\alpha \circ f \circ n\)は\(\pi_\alpha \circ f (p)\)へコンバージ（収束）する、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）への任意のネットはあるポイントへ収束する、もしも、当該ネット後の各構成要素スペース（空間）へのプロジェクションが当該ポイントの対応するコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限ってという命題によって。したがって、\(\pi_\alpha \circ f\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）上の、任意のポイントへコンバージ（収束）する全てのネットに対して、当該ネットの後に当該マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）が当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）する場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(T'_2\)は\(T_2\)のセット（集合）を持つがプロダクトトポロジーではないかもしれないトポロジーを持ち当該プロダクトを満たすと仮定しよう。\(T_1\)を\(T'_2\)であると取り\(f\)をアイデンティマップ（恒等写像）であると取ろう。すると、\(f\)はコンティニュアス（連続）であり、\(\pi_\alpha \circ f\)はコンティニュアス（連続）である。任意のオープンセット（開集合）\(U_\beta \subseteq T_\beta\)に対して、\((\pi_\beta \circ f)^{-1} (U_\beta) = \times_{\alpha} U_\alpha\)、ここで、\(\alpha = \beta\)に対して\(U_\alpha = U_\beta\)で\(\alpha \neq \beta\)に対して\(U_\alpha = T_\alpha\)、は\(T'_2\)上でオープン（開）である。したがって、任意の\(\times_{\alpha} U_\alpha\)、ここで、いくつかファイナイト（有限）数の\(\alpha\)たちに対して\(U_\alpha = U_\beta\)で残りの\(\alpha\)たちに対して\(U_\alpha = T_\alpha\)、はオープン（開）であるいくつかファイナイト（有限）数のオープンセット（開集合）たちのインターセクション（共通集合）として。したがって、\(T'_2\)はプロダクトトポロジーまたはそれより大きなトポロジーを持つ。\(T_1\)を\(T_2\)（プロダクトトポロジーを持つ）であると取り\(f\)をアイデンティマップ（恒等写像）であると取ろう。任意のオープンセット（開集合）\(U_\beta \subseteq T_\beta\)に対して、\((\pi_\beta \circ f)^{-1} (U_\beta) = \times_{\alpha} U_\alpha\)、ここで、\(\alpha = \beta\)に対して\(U_\alpha = U_\beta\)で\(\alpha \neq \beta\)に対して\(U_\alpha = T_\alpha\)、は\(T_2\)上でオープン（開）である。したがって、\(\pi_\alpha \circ f\)はコンティニュアス（連続）であり、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T'_2\)に対して、\(f^{-1} (U) = U\)は\(T_2\)上でオープン（開）である。したがって、\(T'_2\)はより大きなトポロジーは持たない、結局。
