トポロジカルスペース（空間）間のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)に対して、\(f\)はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_2\) はもしも、プリイメージ（前像）\(f^{-1} (S)\) がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である。
2: 証明
\(S\)はクローズド（閉）である、もしも、\(f^{-1} (S)\)がクローズド（閉）である場合。任意のサブセット（部分集合）\(S' \subseteq T_2\)に対して、もしも、\(f^{-1} (S')\)がオープン（開）である場合、\(S'\)はオープン（開）であるか？\(T_1 \setminus f^{-1} (S')\)はクローズド（閉）である。\(T_1 \setminus f^{-1} (S') = f^{-1} (T_2 \setminus S')\)、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって。\(T_2 \setminus S'\)はクローズド（閉）である。\(S'\)はオープン（開）である。
3: 注
コンティニュアス（連続）であることは前提条件として要求されている、なぜなら、コンティニュアス（連続）性は、単に任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）の、そのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）であればクローズド（閉）であることによっては保証されていない。
