379: トポロジカルスペース（空間）間のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合

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トポロジカルスペース（空間）間のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）$f:T_1\to T_2$に対して、$f$はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T_2$ はもしも、プリイメージ（前像）$f^{-1}(S)$ がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である。

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2: 証明

$S$はクローズド（閉）である、もしも、$f^{-1}(S)$がクローズド（閉）である場合。任意のサブセット（部分集合）$S^{\prime }\subseteq T_2$に対して、もしも、$f^{-1}(S^{\prime })$がオープン（開）である場合、$S^{\prime }$はオープン（開）であるか？$T_1\setminus f^{-1}(S^{\prime })$はクローズド（閉）である。$T_1\setminus f^{-1}(S^{\prime })=f^{-1}(T_2\setminus S^{\prime })$、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって。$T_2\setminus S^{\prime }$はクローズド（閉）である。$S^{\prime }$はオープン（開）である。

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3: 注

コンティニュアス（連続）であることは前提条件として要求されている、なぜなら、コンティニュアス（連続）性は、単に任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）の、そのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）であればクローズド（閉）であることによっては保証されていない。

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参考資料

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