418: ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）上のファンダメンタルグループ（群）から構成要素トポロジカルスペース（空間）ファンダメンタルグループ（群）たちのプロダクトの中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）上のファンダメンタルグループ（群）から構成要素トポロジカルスペース（空間）ファンダメンタルグループ（群）たちのプロダクトの中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、ファンダメンタルグループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトグループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）の後に各構成要素トポロジカルスペース（空間）の中へのプロジェクション（射影）を作用させるコンポジション（合成）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、任意のグループ（群）たちマップ（写像）でアイデンティティをアイデンティティへマップ（写像）し任意のマルチプリケーション（積）をマルチプリケーション（積）へマップ（写像）するものはグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）数トポロジカルスペース（空間）たち、当該トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトに対して、当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）上のファンダメンタルグループ（群）から構成要素トポロジカルスペース（空間）たち上のファンダメンタルグループ（群）たちのプロダクトの中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のファイナイト（有限）数トポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2,...,T_n$、プロダクトトポロジカルスペース（空間）$T=T_1\times T_2\times ...\times T_n$、任意のポイント$p=(p^1,p^2,...,p^n)\in T$に対して、$T$上のファンダメンタルグループ（群）から$T_i$たち上のファンダメンタルグループ（群）たちのプロダクトの中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）$f:{\pi }_1(T_1\times T_2\times ...\times T_n,(p^1,p^2,...,p^n))\to {\pi }_1(T_1,p^1)\times {\pi }_1(T_2,p^2)\times ...\times {\pi }_1(T_n,p^n)$, $[f^{\prime }]\mapsto (s_{1\ast }([f^{\prime }]),s_{2\ast }([f^{\prime }]),...,s_{n\ast }([f^{\prime }]))$、ここで、$f^{\prime }$は$T$上の任意のコンティニュアス（連続）ループで$p$から開始するもの、$s_i:T_1\times T_2\times ...\times T_n\to T_i$はプロジェクション（射影）、は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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2: 証明

$s_{i\ast }([f^{\prime }])=[s_i\circ f^{\prime }]$、マップ（写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義によって。任意のプロダクトグループ（群）上のプロダクト（乗法）およびインバース（逆）はそれぞれコンポーネント毎プロダクトおよびコンポーネント毎インバース（逆）である、プロダクトグループ（群）の定義によって。

$f$はバイジェクティブ（全単射）であることを証明しよう。以下を満たす任意の$[f^{\prime }]$および$[f^{″}]$、つまり、$[f^{\prime }]\ne [f^{″}]$、ここで、$f^{\prime }$および$f^{″}$は$T$上のコンティニュアス（連続）ループたちで$p=(p^1,p^2,...,p^n)\in T$から開始するもの、に対して、各$i$に対して$[s_i\circ f^{\prime }]=[s_i\circ f^{″}]$であったと仮定しよう。以下を満たすあるレラティブ（相対的）ホモトピー$F_i:I\times I\to T_i$、つまり、$(t,0)\mapsto s_i\circ f^{\prime }(t)$、$(t,1)\mapsto s_i\circ f^{″}(t)$、$F_i(0,s)=s_i\circ f^{\prime }(0)=s_i\circ f^{″}(0)=F_i(1,s)=s_i\circ f^{\prime }(1)=s_i\circ f^{″}(1)$、があることになる。$F:=I\times I\to T=(F_1,F_2,...,F_n)$を定義しよう。$F$はコンティニュアス（連続）であるということになる、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）の後に各構成要素トポロジカルスペース（空間）の中へのプロジェクション（射影）を作用させるコンポジション（合成）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。$F(t,0)=(s_1\circ f^{\prime }(t),s_2\circ f^{\prime }(t),...,s_n\circ f^{\prime }(t))=f^{\prime }(t)$, $F(t,1)=(s_1\circ f^{″}(t),s_2\circ f^{″}(t),...,s_n\circ f^{″}(t))=f^{″}(t)$, and $F(0,s)=(s_1\circ f^{\prime }(0),s_2\circ f^{\prime }(0),...,s_n\circ f^{\prime }(0))=f^{\prime }(0)=(s_1\circ f^{″}(0),s_2\circ f^{″}(0),...,s_n\circ f^{″}(0))=f^{″}(0)=F(1,s)=(s_1\circ f^{\prime }(1),s_2\circ f^{\prime }(1),...,s_n\circ f^{\prime }(1))=f^{\prime }(1)=(s_1\circ f^{″}(1),s_2\circ f^{″}(1),...,s_n\circ f^{″}(1))=f^{″}(1)$。したがって、$[f^{\prime }]=[f^{″}]$、矛盾。したがって、$f$はインジェクティブ（単射）である。任意の$([f_1^{\prime }],[f_2^{\prime }],...,[f_n^{\prime }])\in {\pi }_1(T_1,p^1)\times {\pi }_1(T_2,p^2)\times ...\times {\pi }_1(T_n,p^n)$に対して、$f^{\prime }:=(f_1^{\prime },f_2^{\prime },...,f_n^{\prime })$、$T$上でコンティニュアス（連続）ループ、を定義しよう。すると、$f([f^{\prime }])=(s_{1\ast }([f^{\prime }]),s_{2\ast }([f^{\prime }]),...,s_{n\ast }([f^{\prime }]))$、そして、$s_{i\ast }([f^{\prime }])=[s_i\circ f^{\prime }]=[f_i^{\prime }]$。したがって、$f$はサージェクティブ（全射）である。したがって、$f$はバイジェクティブ（全単射）である。

$f$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを証明しよう。$s_{i\ast }$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、なぜなら、それはマップ（写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。$f(e)=(s_{1\ast }(e),s_{2\ast }(e),...,s_{n\ast }(e))=(e,e,...,e)=e$、ここで、$e$はアイデンティティ要素たち。$f([f^{\prime }][f^{″}])=(s_{1\ast }([f^{\prime }][f^{″}]),s_{2\ast }([f^{\prime }][f^{″}]),...,s_{n\ast }([f^{\prime }][f^{″}]))=(s_{1\ast }([f^{\prime }])s_{1\ast }([f^{″}]),s_{2\ast }([f^{\prime }])s_{2\ast }([f^{″}]),...,s_{n\ast }([f^{\prime }])s_{n\ast }([f^{″}]))=(s_{1\ast }([f^{\prime }]),s_{2\ast }([f^{\prime }]),...,s_{n\ast }([f^{\prime }]))(s_{1\ast }([f^{″}]),s_{2\ast }([f^{″}]),...,s_{n\ast }([f^{″}]))=f([f^{\prime }])f([f^{″}])$。したがって、$f$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たちマップ（写像）でアイデンティティをアイデンティティへマップ（写像）し任意のマルチプリケーション（積）をマルチプリケーション（積）へマップ（写像）するものはグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。

したがって、$f$は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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参考資料

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