ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）上のファンダメンタルグループ（群）から構成要素トポロジカルスペース（空間）ファンダメンタルグループ（群）たちのプロダクトの中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファンダメンタルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）の後に各構成要素トポロジカルスペース（空間）の中へのプロジェクション（射影）を作用させるコンポジション（合成）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）たちマップ（写像）でアイデンティティをアイデンティティへマップ（写像）し任意のマルチプリケーション（積）をマルチプリケーション（積）へマップ（写像）するものはグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数トポロジカルスペース（空間）たち、当該トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトに対して、当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）上のファンダメンタルグループ（群）から構成要素トポロジカルスペース（空間）たち上のファンダメンタルグループ（群）たちのプロダクトの中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のファイナイト（有限）数トポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2, ..., T_n\)、プロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T = T_1 \times T_2 \times ... \times T_n\)、任意のポイント\(p = (p^1, p^2, ..., p^n) \in T\)に対して、\(T\)上のファンダメンタルグループ（群）から\(T_i\)たち上のファンダメンタルグループ（群）たちのプロダクトの中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）\(f: \pi_1 (T_1 \times T_2 \times ... \times T_n, (p^1, p^2, ..., p^n)) \to \pi_1 (T_1, p^1) \times \pi_1 (T_2, p^2) \times ... \times \pi_1 (T_n, p^n)\), \([f'] \mapsto (s_{1*} ([f']), s_{2*} ([f']), ..., s_{n*} ([f']))\)、ここで、\(f'\)は\(T\)上の任意のコンティニュアス（連続）ループで\(p\)から開始するもの、\(s_i: T_1 \times T_2 \times ... \times T_n \to T_i\)はプロジェクション（射影）、は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
2: 証明
\(s_{i*} ([f']) = [s_i \circ f']\)、マップ（写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義によって。任意のプロダクトグループ（群）上のプロダクト（乗法）およびインバース（逆）はそれぞれコンポーネント毎プロダクトおよびコンポーネント毎インバース（逆）である、プロダクトグループ（群）の定義によって。
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であることを証明しよう。以下を満たす任意の\([f']\)および\([f'']\)、つまり、\([f'] \neq [f'']\)、ここで、\(f'\)および\(f''\)は\(T\)上のコンティニュアス（連続）ループたちで\(p = (p^1, p^2, ..., p^n) \in T\)から開始するもの、に対して、各\(i\)に対して\([s_i \circ f'] = [s_i \circ f'']\)であったと仮定しよう。以下を満たすあるレラティブ（相対的）ホモトピー\(F_i: I \times I \to T_i\)、つまり、\((t, 0) \mapsto s_i \circ f' (t)\)、\((t, 1) \mapsto s_i \circ f'' (t)\)、\(F_i (0, s) = s_i \circ f' (0) = s_i \circ f'' (0) = F_i (1, s) = s_i \circ f' (1) = s_i \circ f'' (1)\)、があることになる。\(F := I \times I \to T = (F_1, F_2, ..., F_n)\)を定義しよう。\(F\)はコンティニュアス（連続）であるということになる、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）の後に各構成要素トポロジカルスペース（空間）の中へのプロジェクション（射影）を作用させるコンポジション（合成）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。\(F (t, 0) = (s_1 \circ f' (t), s_2 \circ f' (t), ..., s_n \circ f' (t)) = f' (t)\), \(F (t, 1) = (s_1 \circ f'' (t), s_2 \circ f'' (t), ..., s_n \circ f'' (t)) = f'' (t)\), and \(F (0, s) = (s_1 \circ f' (0), s_2 \circ f' (0), ..., s_n \circ f' (0)) = f' (0) = (s_1 \circ f'' (0), s_2 \circ f'' (0), ..., s_n \circ f'' (0)) = f'' (0) = F (1, s) = (s_1 \circ f' (1), s_2 \circ f' (1), ..., s_n \circ f' (1)) = f' (1) = (s_1 \circ f'' (1), s_2 \circ f'' (1), ..., s_n \circ f'' (1)) = f'' (1)\)。したがって、\([f'] = [f'']\)、矛盾。したがって、\(f\)はインジェクティブ（単射）である。任意の\(([f'_1], [f'_2], ..., [f'_n]) \in \pi_1 (T_1, p^1) \times \pi_1 (T_2, p^2) \times ... \times \pi_1 (T_n, p^n)\)に対して、\(f' := (f'_1, f'_2, ..., f'_n)\)、\(T\)上でコンティニュアス（連続）ループ、を定義しよう。すると、\(f ([f']) = (s_{1*} ([f']), s_{2*} ([f']), ..., s_{n*} ([f']))\)、そして、\(s_{i*} ([f']) = [s_i \circ f'] = [f'_i]\)。したがって、\(f\)はサージェクティブ（全射）である。したがって、\(f\)はバイジェクティブ（全単射）である。
\(f\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを証明しよう。\(s_{i*}\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、なぜなら、それはマップ（写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。\(f (e) = (s_{1*} (e), s_{2*} (e), ..., s_{n*} (e)) = (e, e, ..., e) = e\)、ここで、\(e\)はアイデンティティ要素たち。\(f ([f'] [f'']) = (s_{1*} ([f'] [f'']), s_{2*} ([f'] [f'']), ..., s_{n*} ([f'] [f''])) = (s_{1*} ([f']) s_{1*} ([f'']), s_{2*} ([f']) s_{2*} ([f'']), ..., s_{n*} ([f']) s_{n*} ([f''])) = (s_{1*} ([f']), s_{2*} ([f']), ..., s_{n*} ([f'])) (s_{1*} ([f'']), s_{2*} ([f'']), ..., s_{n*} ([f''])) = f ([f']) f ([f''])\)。したがって、\(f\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たちマップ（写像）でアイデンティティをアイデンティティへマップ（写像）し任意のマルチプリケーション（積）をマルチプリケーション（積）へマップ（写像）するものはグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。
したがって、\(f\)は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
