ホモトピーイクイバレンス（等値写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、ホモトピーイクイバレンス（等値写像）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意の2つのホモトピックマップ（写像）たち、当該ドメイン（定義域）上の任意のポイント、当該マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第2ホモモーフィズム（準同形写像）は第1ホモモーフィズム（準同形写像）の後に当該ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコドメイン（余域）たち間のカノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を作用させるコンポジション（合成）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のホモトピーイクイバレンス（等値写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のホモトピーイクイバレンス（等値写像）\(f: T_1 \to T_2\)、任意のポイント\(p \in T_1\)に対して、\(f\)によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f_*: \pi_1 (T_1, p) \to \pi_1 (T_2, f (p))\)は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
2: 証明
以下を満たすあるコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(f': T_2 \to T_1\)、つまり、\(f' \circ f \simeq 1_{T_1}\)および\(f \circ f' \simeq 1_{T_2}\)、がある。
以下を満たすあるホモトピー\(F: T_1 \times I \to T_1\)、つまり、\(F (p', 0) = f' \circ f (p')\)および\(F (p', 1) = 1_{T_1} (p') = p'\)、がある。\((f' \circ f)_*: \pi_1 (T_1, p) \to \pi_1 (T_1, f' \circ f (p))\)および\((1_{T_1})_*: \pi_1 (T_1, p) \to \pi_1 (T_1, p)\)。以下を満たすカノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(\phi: \pi_1 (T_1, f' \circ f (p)) \to \pi_1 (T_1, p)\), \([g] \mapsto [\gamma^{-1}] [g] [\gamma]\)、ここで、\(\gamma: I \to T_1\), \(t \mapsto F (p, 1 - t)\)、つまり、\((1_{T_1})_* = \phi \circ (f' \circ f)_*\)、がある、任意の2つのホモトピックマップ（写像）たち、当該ドメイン（定義域）上の任意のポイント、当該マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第2ホモモーフィズム（準同形写像）は第1ホモモーフィズム（準同形写像）の後に当該ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコドメイン（余域）たち間のカノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を作用させるコンポジション（合成）であるという命題によって。
\((1_{T_1})_*\)はバイジェクション（全単射）であり、\(\phi\)はバイジェクション（全単射）であるから、\((f' \circ f)_*\)はバイジェクション（全単射）である。\((f' \circ f)_* = f'_* \circ f_*\)、そして、左辺はバイジェクション（全射であるから、\(f_*\)はインジェクション（単射）であり、\(f'_*\)はサージェクション（全射）である。
\(f \circ f' \simeq 1_{T_2}\)に対する同様な議論によって、\(f'_*\)はインジェクション（単射）であり\(f_*\)はサージェクション（全射）である。
したがって、\(f_*\)はバイジェクション（全単射）である。
したがって、\(f_*\)は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
