419: ホモトピーイクイバレンス（等値写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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ホモトピーイクイバレンス（等値写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）
About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、ホモトピーイクイバレンス（等値写像）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意の2つのホモトピックマップ（写像）たち、当該ドメイン（定義域）上の任意のポイント、当該マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第2ホモモーフィズム（準同形写像）は第1ホモモーフィズム（準同形写像）の後に当該ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコドメイン（余域）たち間のカノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を作用させるコンポジション（合成）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のホモトピーイクイバレンス（等値写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のホモトピーイクイバレンス（等値写像）$f:T_1\to T_2$、任意のポイント$p\in T_1$に対して、$f$によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）$f_{\ast }:{\pi }_1(T_1,p)\to {\pi }_1(T_2,f(p))$は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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2: 証明

以下を満たすあるコンティニュアス（連続）マップ（写像）$f^{\prime }:T_2\to T_1$、つまり、$f^{\prime }\circ f\simeq 1_{T_1}$および$f\circ f^{\prime }\simeq 1_{T_2}$、がある。

以下を満たすあるホモトピー$F:T_1\times I\to T_1$、つまり、$F(p^{\prime },0)=f^{\prime }\circ f(p^{\prime })$および$F(p^{\prime },1)=1_{T_1}(p^{\prime })=p^{\prime }$、がある。$(f^{\prime }\circ f{)}_{\ast }:{\pi }_1(T_1,p)\to {\pi }_1(T_1,f^{\prime }\circ f(p))$および$(1_{T_1}{)}_{\ast }:{\pi }_1(T_1,p)\to {\pi }_1(T_1,p)$。以下を満たすカノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$\varphi :{\pi }_1(T_1,f^{\prime }\circ f(p))\to {\pi }_1(T_1,p)$, $[g]\mapsto [{\gamma }^{-1}][g][\gamma ]$、ここで、$\gamma :I\to T_1$, $t\mapsto F(p,1-t)$、つまり、$(1_{T_1}{)}_{\ast }=\varphi \circ (f^{\prime }\circ f{)}_{\ast }$、がある、任意の2つのホモトピックマップ（写像）たち、当該ドメイン（定義域）上の任意のポイント、当該マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第2ホモモーフィズム（準同形写像）は第1ホモモーフィズム（準同形写像）の後に当該ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコドメイン（余域）たち間のカノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を作用させるコンポジション（合成）であるという命題によって。

$(1_{T_1}{)}_{\ast }$はバイジェクション（全単射）であり、$\varphi$はバイジェクション（全単射）であるから、$(f^{\prime }\circ f{)}_{\ast }$はバイジェクション（全単射）である。$(f^{\prime }\circ f{)}_{\ast }=f_{\ast }^{\prime }\circ f_{\ast }$、そして、左辺はバイジェクション（全射であるから、$f_{\ast }$はインジェクション（単射）であり、$f_{\ast }^{\prime }$はサージェクション（全射）である。

$f\circ f^{\prime }\simeq 1_{T_2}$に対する同様な議論によって、$f_{\ast }^{\prime }$はインジェクション（単射）であり$f_{\ast }$はサージェクション（全射）である。

したがって、$f_{\ast }$はバイジェクション（全単射）である。

したがって、$f_{\ast }$は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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参考資料

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