412: C∞ベクトルたちバンドル（束）に対して、ベーススペース（空間）上のチャートオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）ではない（多分）

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、ベーススペース（空間）上のチャートオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）ではない（多分）ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 2: 証明（未完成）

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベーススペース（空間）上のあるチャートオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）ではない（多分）という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E,M,\pi )$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
$U$: $\in \{M\text{ の全てのチャートドメイン（定義域）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
必ずしも、$U\in \{M\text{ の全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$、ではない（多分）
//

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2: 自然言語記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）$(E,M,\pi )$、任意のチャートドメイン（定義域）$U\subseteq M$に対して、$U$は必ずしもトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）ではない（多分）。

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3: 注

著者は、正直に言って、$U$が$M$のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である必要があるか否か確信がない。

この確信のない状態においてでも本命題を私たちが必要とする理由は、証明済みでないことを正しいと想定してしまわないようにする注意喚起が少なくとも必要であること。

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2: 証明（未完成）

反例を示す必要があることは知っているが、今のところそうできていない。

少なくとも、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義は、ベーススペース（空間）上の全てのチャートオープンサブセット（開部分集合）がトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるように直接には要求しておらず、ベーススペース（空間）上の全てのチャートオープンサブセット（開部分集合）がトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるよう含意されていることはなさそうに思われる、初見では。

任意のタンジェントベクトルたちバンドル（束）ケースに対しては、ベーススペース（空間）上の全てチャートオープンサブセット（開部分集合）はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である（タンジェントベクトルたちバンドル（束）のアトラス、そうであるように定義されている）、しかし、それは、それほど即座には任意の一般的な$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）ケースへ一般化されない。

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参考資料

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