コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からの以下を満たす2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがポイントにおいて一致すれば、それらはネイバーフッド（近傍）上で一致し、もしもそれらがポイントにおいて不一致であれば、それらはネイバーフッド（近傍）上で不一致である、は全体として一致するか全体として不一致であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす任意の2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがそのポイントで一致すれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）で一致し、もしもそれらがそのポイントで不一致であれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）で不一致である、はドメイン（定義域）全体上で全体として一致するか全体として不一致であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）\(T_1\)、任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_2\)、以下を満たす任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち\(f_1, f_2: T_1 \rightarrow T_2\)、つまり、任意のポイント\(p \in T_1\)に対して、もしも\(f_1 (p) = f_2 (p)\)であれば、\(p\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_p\)、つまり、各\(p' \in N_p\)に対して\(f_1 (p') = f_2 (p')\)、があり、もしも\(f_1 (p) \neq f_2 (p)\)であれば、\(p\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_p\)、つまり、各\(p' \in N_p\)に対して\(f_1 (p') \neq f_2 (p')\)、がある、に対して、各\(p \in T_1\)に対して\(f_1 (p) = f_2 (p)\)または各\(p \in T_1\)に対して\(f_1 (p) \neq f_2 (p)\)。
2: 証明
そうしたネイバーフッド（近傍）たちはオープンネイバーフッド（開近傍）たちであるように選択することができる、なぜなら、\(f_1\)と\(f_2\)が一致するか不一致である任意のネイバーフッド（近傍）はあるオープンネイバーフッド（開近傍）を包含しており、その上で\(f_1\)と\(f_2\)はそれぞれ一致するか不一致である。したがって、各ポイント\(p \in T_1\)の周りに、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p\)、つまり、\(f_1\)と\(f_2\)は\(U_p\)上で一致するか不一致である、がある。.
\(U := \cup_{p \in A} U_p\)、ここで、\(A = \{p \in T_1\vert f_1 (p) = f_2 (p)\}\)、\(f_1\)と\(f_2\)が一致するポイントたちのセット（集合）、を定義しよう。実のところ、\(U = A\)、なぜなら、任意のポイント \(p \in A\)に対して、\(p \in U\)、そして、任意のポイント\(p \in U\)に対して、\(p \in A\)。\(U\)はオープン（開）である。同様に、\(U' := \cup_{p \in A'} U_p\)、ここで、\(A' = \{p \in T_1\vert f_1 (p) \neq f_2 (p)\}\)、\(f_1\)と\(f_2\)が不一致であるポイントたちのセット（集合）、を定義しよう。実のところ、\(U' = A'\)、なぜなら、任意のポイント\(p \in A'\)に対して、\(p \in U'\)、そして、任意のポイント\(p \in U'\)に対して、\(p \in A'\)。\(U'\)はオープン（開）である。
実のところ、\(A = T_1 \setminus A'\)、なぜなら、各ポイント\(p \in T_1\)はそれらの内の1つだけに所属する。したがって、\(A\)はクローズド（閉）である。したがって、\(A = T_1\)または\(A = \emptyset\)、任意のトポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちは当該トポロジカルスペース（空間）および空集合だけである場合、そしてその場合に限ってという命題によって。もしも、\(A = T_1\)である場合、\(f_1\)と\(f_2\)は\(T_1\)全体で一致する。もしも、\(A = \emptyset\)である場合、\(A' = T_1\)、したがって、\(f_1\)と\(f_2\)は\(T_1\)全体で不一致である。
3: 注
\(T_1\)はコネクテッド（連結された）であるよう要求されている、そうでなければ、\(f_1\)と\(f_2\)は\(T_1\)のあるコネクテッド（連結された）コンポーネント上で一致し、\(T_1\)の別のコネクテッド（連結された）コンポーネント上で不一致であり得る。
