422: 2つのホモトピックマップ（写像）たち、ドメイン（定義域）上のポイント、マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第2のホモモーフィズム（準同形写像）は、ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコドメイン（余域）間カノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を第1ホモモーフィズム（準同形写像）の後に作用させるコンポジション（合成）である

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2つのホモトピックマップ（写像）たち、ドメイン（定義域）上のポイント、マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第2のホモモーフィズム（準同形写像）は、ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコドメイン（余域）間カノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を第1ホモモーフィズム（準同形写像）の後に作用させるコンポジション（合成）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）
About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ホモトピックマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、アファインマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意の2つのパスコネクテッド（連結された）ポイントたちに対して、当該2ポイントたちに関するファンダメンタルグループ（群）たちの間に、ある'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）でパスクラスたちグルーポイド内にて左からインバース（逆）パスクラスを掛け右からパスクラスを掛けるものがあるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、あるファイナイト（有限）数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2つのホモトピックマップ（写像）たち、当該ドメイン（定義域）上の任意のポイント、当該マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第2のホモモーフィズム（準同形写像）は、当該ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコドメイン（余域）間カノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を第1ホモモーフィズム（準同形写像）の後に作用させるコンポジション（合成）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、以下を満たす任意のホモトピックマップ（写像）たち$f:T_1\to T_2$および$f^{\prime }:T_1\to T_2$、つまり、$f\simeq f^{\prime }$、任意のポイント$p\in T_1$、$f$および$f^{\prime }$によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち$f_{\ast }:{\pi }_1(T_1,p)\to {\pi }_1(T_2,f(p))$および$f_{\ast }^{\prime }:{\pi }_1(T_1,p)\to {\pi }_1(T_2,f^{\prime }(p))$、カノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$\varphi :{\pi }_1(T_2,f(p))\to {\pi }_1(T_2,f^{\prime }(p))$に対して、$f_{\ast }^{\prime }=\varphi \circ f_{\ast }$。

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2: 証明

以下を満たすあるホモトピー$F:T_1\times I\to T_2$、つまり、$F(p^{\prime },0)=f^{\prime }(p^{\prime })$および$F(p^{\prime },1)=f(p^{\prime })$、がある。$\gamma :I\to T_2=F(p,1-t)$、それは以下を満たすパス、つまり、$\gamma (0)=F(p,1)=f(p)$および$\gamma (1)=F(p,0)=f^{\prime }(p)$、としよう。

$\varphi$は実際に'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）で、$\varphi :[g]\mapsto [{\gamma }^{-1}][g][\gamma ]$、ここで、$[{\gamma }^{-1}][g][\gamma ]$はパスクラスたちグルーポイドの中におけるもの、である、任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意の2つのパスコネクテッド（連結された）ポイントたちに対して、当該2ポイントたちに関するファンダメンタルグループ（群）たちの間に、ある'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）でパスクラスたちグルーポイド内にて左からインバース（逆）パスクラスを掛け右からパスクラスを掛けるものがあるという命題によって。

$[g]\in {\pi }_1(T_1,p)$を任意のものとしよう。$f_{\ast }^{\prime }([g])=[f^{\prime }\circ g]$。$\varphi \circ f_{\ast }([g])=\varphi ([f\circ g])=[{\gamma }^{-1}][f\circ g][\gamma ]=[{\gamma }^{-1}\ast (f\circ g)\ast \gamma ]$。$f^{\prime }\circ g\simeq {\gamma }^{-1}\ast (f\circ g)\ast \gamma \text{ rel }\{0,1\}$？

$F^{\prime }:I\times I\to T_2$、$(t,s)\mapsto F(g(t),s)$を定義しよう。$F^{\prime }$はコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として。$F^{\prime }(t,0)=f^{\prime }\circ g(t)$、望まれるとおり、しかし、$F^{\prime }(t,1)=f\circ g(t)$、望まれないように。しかも、$F^{\prime }(0,s)=F(g(0),s)$および$F^{\prime }(1,s)=F(g(1),s)$、望まれないように。

スクウェア（正方形）$S$で$I\times I$を代表するもの、ここで、底辺は$s=0$、上辺は$s=1$、左辺は$t=0$、右辺は$t=1$、のことを考えよう。実のところ、${\gamma }^{-1}\ast (f\circ g)\ast \gamma$は、$(0,0)\to (0,1)\to (1,1)\to (1,0)$と行くことに対応している。

そこで、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）マップ（写像）$h:I\times I\to I\times I$、つまり、$(0,1)\to (1,1)$が$(0,0)\to (0,1)\to (1,1)\to (1,0)$へマップ（写像）する、を考案しよう。

スクウェア（正方形）$S^{\prime }$でドメイン（定義域）$I\times I$を代表するものを以前のように考えよう。$h$は$S^{\prime }$から$S$の中へのマップ（写像）である。$S^{\prime }$の上辺が${\gamma }^{-1}\ast (f\circ g)\ast \gamma$に対応するには、$(0,1)\to (1/4,1)$が${\gamma }^{-1}$が対応するしなければならず、$(1/4,1)\to (1/2,1)$が$f\circ g$に対応しなければならず、$(1/2,1)\to (1,1)$が$\gamma$に対応しなければならない。$S^{\prime }$の中央$(1/2,1/2)$を$c$と表わそう。$S^{\prime }$を以下のトライアングル（三角形）たち$(0,0)-c-(0,1)$、$(0,1)-c-(1/4,1)$、$(1/4,1)-c-(1/2,1)$、$(1/2,1)-c-(1,1)$、$(1,1)-c-(1,0)$、$(1,0)-c-(0,0)$に分割しよう。$h$に$S^{\prime }$を$S$の上へ、各トライアングル（三角形）を$S$上のあるトライアングル（三角形）の上へアファインマッピングすることで、マップ（写像）させよう。各アファインマップ（写像）は頂点たちのマッピングたちによって定義され、それがマップ（写像）全体をリニアリティ（線形性）によって決定的する。

以下が頂点たちのマッピングたちである: $c\to (1/2,1/2)$、$(0,0)\to (0,0)$、$(0,1)\to (0,0)$、$(1/4,1)\to (0,1)$、$(1/2,1)\to (1,1)$、$(1,1)\to (1,0)$、$(1,0)\to (1,0)$。すると、$S^{\prime }$上の$(0,1)\to (1,1)$は$S$上の$(0,0)-(0,1)-(1,1)-(1,0)$へマップする、望まれるとおり。また、$(0,0)\to (0,1)$は単一ポイント$(0,0)$にマップし、$(1,0)\to (1,1)$は単一ポイント$(1,0)$にマップする。それは一貫性の取れたマップ（写像）$h$を構成する（トライアングル（三角形）たちのマップ（写像）たちはボーダー（境界）たち上で一致する）、なぜなら、それは何らの頂点も2つの異なるポイントたちへマップ（写像）することはない。$S^{\prime }$上の各トライアングル（三角形）は$S^{\prime }$のクローズドサブセット（閉部分集合）であり、$h$は当該クローズドサブセット（閉部分集合）上でコンティニュアス（連続）である（なぜなら、それはアファインマップ（写像）である）、したがって、$h$はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、あるファイナイト（有限）数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。

$F^{″}:I\times I\to T_2=F^{\prime }\circ h$は$\{0,1\}$にレラティブ（相対的な）望まれるホモトピーである、なぜなら、$F^{″}(t,0)=f^{\prime }\circ g(t)$、$F^{″}(t,1)=({\gamma }^{-1}\ast (f\circ g)\ast \gamma )(t)$、$F^{″}(0,s)=f^{\prime }\circ g(0)=({\gamma }^{-1}\ast (f\circ g)\ast \gamma )(0)=f^{\prime }(p)=F^{″}(1,s)=f^{\prime }\circ g(1)=({\gamma }^{-1}\ast (f\circ g)\ast \gamma )(1)=f^{\prime }(p)$。

したがって、$f^{\prime }\circ g\simeq {\gamma }^{-1}\ast (f\circ g)\ast \gamma \text{ rel }\{0,1\}$、そして、$[f^{\prime }\circ g]=[{\gamma }^{-1}\ast (f\circ g)\ast \gamma ]$、それが意味するのは、$f_{\ast }^{\prime }=\varphi \circ f_{\ast }$。

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参考資料

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