ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のファイナイト（有限）数トポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2, . . ., T_n\)、プロダクト\(T = T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)、任意のポイント\(p = (p^1, p^2, ..., p^n)\in T\)、\(\{p^j \vert j \in \{1, 2, ..., n\}\}\)の任意のネイバーフッド（近傍）たち\(\{N_{p^j} \subseteq T_j \vert j \in \{1, 2, ..., n\}\}\)に対して、\(N_p = N_{p^1} \times N_{p^2} \times . . . \times N_{p^n} \subseteq T\)は\(p\)のネイバーフッド（近傍）である。
2: 証明
確かに、\(p \in N_p\)。
各\(j\)に対して、\(p^j\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p^j} \subseteq T_j\)、つまり、\(U_{p^j} \subseteq N_{p^j}\)、がある、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義によって。\(U_p := U_{p^1} \times U_{p^2} \times ... \times U_{p^n} \subseteq N_p\)。\(p \in U_p\)、そして、\(U_p\)は\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、プロダクトトポロジーの定義によって。
したがって、\(N_p\)は\(p\)のネイバーフッド（近傍）である。
3: 注
あるインフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対しては、当該ロジックは当てはまらない、なぜなら、\(U_p\)は\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）ではないであろう、なぜなら、\(\times_{\alpha \in A} U_{p^\alpha}\)はオープン（開）ではないであろう、\(U_{p^\alpha}\)たちの内のあるファイナイト（有限）数のものだけが\(T_\alpha\)と違うのでない限り。
