423: ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）である

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ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のファイナイト（有限）数トポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2,...,T_n$、プロダクト$T=T_1\times T_2\times ...\times T_n$、任意のポイント$p=(p^1,p^2,...,p^n)\in T$、$\{p^j|j\in \{1,2,...,n\}\}$の任意のネイバーフッド（近傍）たち$\{N_{p^j}\subseteq T_j|j\in \{1,2,...,n\}\}$に対して、$N_p=N_{p^1}\times N_{p^2}\times ...\times N_{p^n}\subseteq T$は$p$のネイバーフッド（近傍）である。

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2: 証明

確かに、$p\in N_p$。

各$j$に対して、$p^j$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{p^j}\subseteq T_j$、つまり、$U_{p^j}\subseteq N_{p^j}$、がある、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義によって。$U_p:=U_{p^1}\times U_{p^2}\times ...\times U_{p^n}\subseteq N_p$。$p\in U_p$、そして、$U_p$は$p$のオープンネイバーフッド（開近傍）である、プロダクトトポロジーの定義によって。

したがって、$N_p$は$p$のネイバーフッド（近傍）である。

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3: 注

あるインフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対しては、当該ロジックは当てはまらない、なぜなら、$U_p$は$T$のオープンサブセット（開部分集合）ではないであろう、なぜなら、${\times }_{\alpha \in A}{U}_{p^{\alpha }}$はオープン（開）ではないであろう、$U_{p^{\alpha }}$たちの内のあるファイナイト（有限）数のものだけが$T_{\alpha }$と違うのでない限り。

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参考資料

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