トポロジカルスペース（空間）上の2つのパスコネクテッド（連結された）ポイントたちに対して、ファンダメンタルグループ（群）たち間'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）でパスクラスたちグルーポイド内にて左からインバース（逆）パスクラスを掛け右からパスクラスを掛けるものがあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性の定義を知っている。
- 読者は、ファンダメンタルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、パスクラスたちグルーポイドの定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）たちマップ（写像）でアイデンティティをアイデンティティへマップ（写像）し任意のマルチプリケーション（積）をマルチプリケーション（積）へマップ（写像）するものはグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意の2つのパスコネクテッド（連結された）ポイントたちに対して、当該2ポイントたちに関するファンダメンタルグループ（群）たちの間に、ある'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）でパスクラスたちグルーポイド内にて左からインバース（逆）パスクラスを掛け右からパスクラスを掛けるものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のパスコネクテッド（連結された）ポイントたち\(p, p' \in T\)、以下を満たす任意のパス\(\gamma: I \to T\)、つまり、\(\gamma (0) = p\)および\(\gamma (1) = p'\)、に対して、ある'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(\phi: \pi_1 (T, p) \to \pi_1 (T, p')\)、\([f] \mapsto [\gamma^{-1}] [f] [\gamma]\)、ここで、\([\gamma^{-1}] [f] [\gamma]\)はパスクラスたちグルーポイド内におけるもの、がある。
2: 注
\([\gamma^{-1}] [f] [\gamma]\)は意味をなしている、なぜなら、それはパスクラスたちグルーポイド内におけるものである: \([\gamma^{-1}]\)、\([f]\)、\([\gamma]\)は\(\pi_1 (T, p')\)のメンバーではないが、当該グルーポイドのメンバーであり、結果は\(\pi_1 (T, p')\)のメンバーである、なぜなら、それは\([\gamma^{-1} * f * \gamma]\)、\(p'\)から開始するループである。
3: 証明
\(\phi\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、任意の\([f], [f'] \in \pi_1 (T, p)\)に対して、\([\gamma^{-1}] [f] [\gamma] = [\gamma^{-1}] [f'] [\gamma]\)であるとき、\([f] = [e_p] [f] [e_p] = [\gamma] [\gamma^{-1}] [f] [\gamma] [\gamma^{-1}] = [\gamma] [\gamma^{-1}] [f'] [\gamma] [\gamma^{-1}] = [e_p] [f'] [e_p] = [f']\)。
\(\phi\)はサージェクティブ（全射）である、なぜなら、任意の\([f] \in \pi_1 (T, p')\)に対して、\([\gamma] [f] [\gamma^{-1}] \in \pi_1 (T, p)\)、そして、\([\gamma^{-1}] [\gamma] [f] [\gamma^{-1}] [\gamma] = [e_{p'}] [f] [e_{p'}] = [f]\)。
\(\phi\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、なぜなら、\(\phi (e) = [\gamma^{-1}] [e_p] [\gamma] = [\gamma^{-1}] [\gamma] = [e_{p'}] = e\); \(\phi ([f] [f']) = [\gamma^{-1}] [f] [f'] [\gamma] = [\gamma^{-1}] [f] [e_p] [f'] [\gamma] = [\gamma^{-1}] [f] [\gamma] [\gamma^{-1}] [f'] [\gamma] = \phi ([f]) \phi ([f'])\)、任意のグループ（群）たちマップ（写像）でアイデンティティをアイデンティティへマップ（写像）し任意のマルチプリケーション（積）をマルチプリケーション（積）へマップ（写像）するものはグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。
したがって、\(\phi\)は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
