リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert: V \to \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすメトリック（計量）\(dist: V \times V \to \mathbb{R}\)、つまり、任意の\(p_1, p_2 \in V\)に対して、\(dist (p_1, p_2) = \Vert p_2 - p_1 \Vert\)
2: 注
その\(dist\)は実際にメトリック（計量）である、なぜなら、1) \(0 \le dist (p_1, p_2) = \Vert p_2 - p_1 \Vert\)で等号はもしも\(p_1 = p_2\)である場合、そしてその場合に限って成立する; 2) \(dist (p_1, p_2) = \Vert p_2 - p_1 \Vert = \Vert p_1 - p_2 \Vert = dist (p_2, p_1)\); 3) \(dist (p_1, p_3) = \Vert p_3 - p_1 \Vert = \Vert p_3 - p_2 + p_2 - p_1 \Vert \le \Vert p_2 - p_1 \Vert + \Vert p_3 - p_2 \Vert = dist (p_1, p_2) + dist (p_2, p_3)\)、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義によって。
