446: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）

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リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義を知っている。
• 読者は、メトリック（計量）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）$V$、任意のノルム$\Vert \bullet \Vert :V\to \mathbb{R}$に対して、以下を満たすメトリック（計量）$dist:V\times V\to \mathbb{R}$、つまり、任意の$p_1,p_2\in V$に対して、$dist(p_1,p_2)=\Vert p_2-p_1\Vert$

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2: 注

その$dist$は実際にメトリック（計量）である、なぜなら、1) $0\le dist(p_1,p_2)=\Vert p_2-p_1\Vert$で等号はもしも$p_1=p_2$である場合、そしてその場合に限って成立する; 2) $dist(p_1,p_2)=\Vert p_2-p_1\Vert =\Vert p_1-p_2\Vert =dist(p_2,p_1)$; 3) $dist(p_1,p_3)=\Vert p_3-p_1\Vert =\Vert p_3-p_2+p_2-p_1\Vert \le \Vert p_2-p_1\Vert +\Vert p_3-p_2\Vert =dist(p_1,p_2)+dist(p_2,p_3)$、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義によって。

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参考資料

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