445: カバリングマップ（写像）に対して、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からのコンティニュアス（連続）マップ（写像）の2つのリフトたちは全体として一致するか全体として不一致であるかである

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カバリングマップ（写像）に対して、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からのコンティニュアス（連続）マップ（写像）の2つのリフトたちは全体として一致するか全体として不一致であるかであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、カバリングマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のカバリングマップ（写像）に関するリフトの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンサブセット（開部分集合）はローカルにパスコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上の任意のコネクテッド（連結された）コンポーネントはオープン（開）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす任意の2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがそのポイントで一致すれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）で一致し、もしもそれらがそのポイントで不一致であれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）で不一致である、はドメイン（定義域）全体上で全体として一致するか全体として不一致であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）の任意の2つのリフトたちは全体として一致するか全体として不一致であるかであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコネクテッド（連結された）でローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のカバリングマップ（写像）$\pi :T_1\to T_2$、それが意味するのは、$\pi$はコンティニュアス（連続）でサージェクティブ（全射）で任意のポイント$p\in T_2$の周りにあるネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T_2$があり、それは$\pi$によってイーブンにカバーされている、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）$T_3$、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）$f:T_3\to T_2$に対して、$f$の2つのリフトたち$f^{\prime },f^{″}:T_3\to T_1$は$T_3$の各ポイントにおいて一致するか$T_3$の各ポイントにおいて不一致であるかである。

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2: 証明

サブスペース（部分空間）${\pi }^{-1}(N_p)$は複数のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち、それぞれ${{\pi }^{-1}(N_p)}_{\alpha }$と表記される、ここで、$\alpha \in A_p$、ここで、$A_p$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、からなるかもしれない。

あるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T_2$を$N_p$として取ることができる、なぜなら、もしも、$N_p$がオープン（開）でなければ、あるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq N_p$があり、それは、各${{\pi }^{-1}(U_p)}_{\alpha }$へ${\pi }_{p,\alpha }:=\pi {|}_{{{\pi }^{-1}(U_p)}_{\alpha }}:{{\pi }^{-1}(U_p)}_{\alpha }\to U_p$によってホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、${\pi }_{p,\alpha }$は明らかにバイジェクティブ（全単射）であり、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）をそれぞれ${{\pi }^{-1}(N_p)}_{\alpha }$および$N_p$のサブスペース（部分空間）たちとみなしてコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）$\pi {|}_{{{\pi }^{-1}(N_p)}_{\alpha }}:{{\pi }^{-1}(N_p)}_{\alpha }\to N_p$のリストリクション（制限）として、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、そして、そのインバース（逆）はドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）を同様にみなしてコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）${\pi {|}_{{{\pi }^{-1}(N_p)}_{\alpha }}}^{-1}$のリストリクション（制限）として、同様に、しかし、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、それらマップ（写像）たちはドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）をそれぞれ$T_1$および$T_2$のサブスペース（部分空間）たちとみなしてもコンティニュアス（連続）である。

${{\pi }^{-1}(U_p)}_{\alpha }$は$T_1$上でオープン（開）である、なぜなら、${\pi }^{-1}(U_p)$は$T_1$上でオープン（開）であり、ローカルにパスコネクテッド（連結された）である、任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンサブセット（開部分集合）はローカルにパスコネクテッド（連結された）であるという命題によって、${{\pi }^{-1}(U_p)}_{\alpha }$は${\pi }^{-1}(U_p)$上でオープン（開）である、任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上の任意のコネクテッド（連結された）コンポーネントはオープン（開）であるという命題によって、そして、${{\pi }^{-1}(U_p)}_{\alpha }$は$T_1$上でオープン（開）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって。

$\pi \circ f^{\prime }=\pi \circ f^{″}=f$、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のカバリングマップ（写像）に関するリフトの定義によって。

任意のポイント$p\in T_3$に対して、ある$U_{f(p)}\subseteq T_2$および$\{{{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }\subseteq T_1\}$がある。2つの可能性がある: 1) ある$\alpha$に対して、$f^{\prime }(p)=f^{″}(p)\in {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }$; 2) ある${\alpha }^{\prime }\ne {\alpha }^{″}$に対して、$f^{\prime }(p)\ne f^{″}(p)$、ここで、$f^{\prime }(p)\in {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{{\alpha }^{\prime }}$および$f^{″}(p)\in {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{{\alpha }^{″}}$。

可能性1)を仮定しよう。${{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }$は$T_1$上でオープン（開）であり$f^{\prime }$はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq T_3$、つまり、$f^{\prime }(U_p^{\prime })\subseteq {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }$、がある。同様に、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{″}\subseteq T_3$、つまり、$f^{″}(U_p^{″})\subseteq {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }$、がある。$U_p:=U_p^{\prime }\cap U_p^{″}$を定義しよう。任意の$p^{\prime }\in U_p$に対して、$f^{\prime }(p^{\prime }),f^{″}(p^{\prime })\in {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }$、${\pi }_{p,\alpha }\circ f^{\prime }(p^{\prime })={\pi }_{p,\alpha }\circ f^{″}(p^{\prime })$、しかし、${\pi }_{p,\alpha }$はバイジェクティブ（全単射）であるから、$f^{\prime }(p^{\prime })=f^{″}(p^{\prime })$。したがって、任意のポイント$p\in T_3$に対して、もしも、$f^{\prime }(p)=f^{″}(p)$であれば、$f^{\prime }$と$f^{″}$は$p$のあるネイバーフッド（近傍）上で一致する。

可能性2)を仮定しよう。${{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{{\alpha }^{\prime }}$は$T_1$上でオープン（開）であり$f^{\prime }$はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq T_3$、つまり、$f^{\prime }(U_p^{\prime })\subseteq {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{{\alpha }^{\prime }}$、がある。同様に、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{″}\subseteq T_3$、つまり、$f^{″}(U_p^{″})\subseteq {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{{\alpha }^{″}}$、がある。$U_p:=U_p^{\prime }\cap U_p^{″}$を定義しよう。任意の$p^{\prime }\in U_p$に対して、$f^{\prime }(p^{\prime })\in {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{{\alpha }^{\prime }}$および$f^{″}(p^{\prime })\in {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{{\alpha }^{″}}$。${{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{{\alpha }^{\prime }}\cap {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{{\alpha }^{″}}=\mathrm{\varnothing }$であるから、$f^{\prime }(p^{\prime })\ne f^{″}(p^{\prime })$。したがって、任意のポイント$p\in T_3$に対して、もしも、$f^{\prime }(p)\ne f^{″}(p)$である場合、$f^{\prime }$と$f^{″}$は$p$のあるネイバーフッド（近傍）上で不一致である。

したがって、$f^{\prime }$と$f^{″}$は$T_3$の各ポイントにおいて一致するか$T_3$の各ポイントにおいて不一致であるかである、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす任意の2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがそのポイントで一致すれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）で一致し、もしもそれらがそのポイントで不一致であれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）で不一致である、はドメイン（定義域）全体上で全体として一致するか全体として不一致であるという命題によって。

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参考資料

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