449: リストリクテッド（制限された）タンジェントベクトルたちバンドル（束）上のベクトルたちフィールド（場）はC^\inftyである、もしも、スーパーマニフォールド（多様体）上の任意のC^\inftyファンクション（関数）へのオペレーション結果がレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上でC^\inftyである場合、そしてその場合に限って

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リストリクテッド（制限された）タンジェントベクトルたちバンドル（束）上のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのオペレーション結果がレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上で$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リストリクテッド（制限された）ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のポイント近傍上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して、そのポイントの、より小さいかもしれないある近傍上で元のファンクション（関数）に一致する、マニフォールド（多様体）上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）が存在するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリストリクテッド（制限された）タンジェントベクトルたちバンドル（束）上の任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、当該スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのオペレーション結果が当該レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上で$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M^{\prime }$、任意のレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）$M\subseteq M^{\prime }$、任意のベクトルたちフィールド（場）$V:M\to T{M}^{\prime }{|}_M$に対して、$V$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f\in C^{\mathrm{\infty }}(M^{\prime })$に対して、$Vf$が$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

任意のポイント$p\in M$に対して、$p$のあるアダプテッドチャート$(U_p\subseteq M^{\prime },\varphi )$がある。対応するアダプティングチャートは$(U_p\cap M\subseteq M,\pi \circ \varphi {|}_{U_p\cap M})$、ここで、$\pi$は最初の$n$コンポーネントたちへのプロジェクション（射影）、ここで、$n$は$M$のディメンジョン、である。

$Vf$は$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）であると仮定しよう。各コーディネート（座標）ファンクション（関数）$x^j:U_p\to \mathbb{R}$は$U_p$上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）であり、$M^{\prime }$上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$\widetilde{x^j}:M^{\prime }\to \mathbb{R}$で$p$のより小さいかもしれないあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq U_p$で$x^j$に等しいものがある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のポイント近傍上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して、そのポイントの、より小さいかもしれないある近傍上で元のファンクション（関数）に一致する、マニフォールド（多様体）上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）が存在するという命題によって。$U_p^{\prime }\cap M$上で、$V\widetilde{x^j}=V^i\frac{\partial \widetilde{x^j}}{\partial x^i}=V^j$、$U_p^{\prime }\cap M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$、仮定によって、そして、$V$は$U_p^{\prime }\cap M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である。$V$は$M$上の任意のポイントのあるネイバーフッド（近傍）で$C^{\mathrm{\infty }}$であるので、$V$は$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$V$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定しよう。$U_p\cap M$上で$V=V^j\frac{\partial }{\partial x^j}$、ここで、$V^j$は$U_p\cap M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）。$Vf=V^j\frac{\partial f}{\partial x^j}$は$U_p\cap M$上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）である: $\frac{\partial f}{\partial x^j}$は$U_p$上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）であるが、$U_p\cap M$上では、$(\frac{\partial f}{\partial x^j})(x^1,x^2,...,x^n,x^{n+1},x^{n+2},...,x^{n+m})=(\frac{\partial f}{\partial x^j})(x^1,x^2,...,x^n,0,0,...,0)$、それは、$U_p\cap M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である。$Vf$は$M$上の任意のポイントのあるネイバーフッド（近傍）上で$C^{\mathrm{\infty }}$であるので、それは$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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3: 注

$V$は$M$上のファンクション（関数）に作用しない、なぜなら、$V(p)\in Tp{M}^{\prime }$、$TpM$の中ではなく。

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参考資料

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