リストリクテッド（制限された）タンジェントベクトルたちバンドル（束）上のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果がレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上で\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリストリクテッド（制限された）タンジェントベクトルたちバンドル（束）上の任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、当該スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が当該レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上で\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M'\)、任意のレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）\(M \subseteq M'\)、任意のベクトルたちフィールド（場）\(V: M \to TM'\vert_{M}\)に対して、\(V\)は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f \in C^\infty (M')\)に対して、\(V f\)が\(M\)上で\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
任意のポイント\(p \in M\)に対して、\(p\)のあるアダプテッドチャート\((U_p \subseteq M', \phi)\)がある。対応するアダプティングチャートは\((U_p \cap M \subseteq M, \pi\circ \phi \vert_{U_p \cap M})\)、ここで、\(\pi\)は最初の\(n\)コンポーネントたちへのプロジェクション（射影）、ここで、\(n\)は\(M\)のディメンジョン、である。
\(V f\)は\(C^\infty\)ファンクション（関数）であると仮定しよう。各コーディネート（座標）ファンクション（関数）\(x^j: U_p \to \mathbb{R}\)は\(U_p\)上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）であり、\(M'\)上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(\tilde{x^j}: M' \to \mathbb{R}\)で\(p\)のより小さいかもしれないあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq U_p\)で\(x^j\)に等しいものがある、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のポイント近傍上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、そのポイントの、より小さいかもしれないある近傍上で元のファンクション（関数）に一致する、マニフォールド（多様体）上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）が存在するという命題によって。\(U'_p \cap M\)上で、\(V \tilde{x^j} = V^i \frac{\partial \tilde{x^j}}{\partial x^i} = V^j\)、\(U'_p \cap M\)上で\(C^\infty\)、仮定によって、そして、\(V\)は\(U'_p \cap M\)上で\(C^\infty\)である。\(V\)は\(M\)上の任意のポイントのあるネイバーフッド（近傍）で\(C^\infty\)であるので、\(V\)は\(M\)上で\(C^\infty\)である。
\(V\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。\(U_p \cap M\)上で\(V = V^j \frac{\partial}{\partial x^j}\)、ここで、\(V^j\)は\(U_p \cap M\)上で\(C^\infty\)ファンクション（関数）。\(V f = V^j \frac{\partial f}{\partial x^j}\)は\(U_p \cap M\)上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）である: \(\frac{\partial f}{\partial x^j}\)は\(U_p\)上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）であるが、\(U_p \cap M\)上では、\((\frac{\partial f}{\partial x^j}) (x^1, x^2, ..., x^n, x^{n + 1}, x^{n + 2}, ..., x^{n + m}) = (\frac{\partial f}{\partial x^j}) (x^1, x^2, ..., x^n, 0, 0, ..., 0)\)、それは、\(U_p \cap M\)上で\(C^\infty\)である。\(V f\)は\(M\)上の任意のポイントのあるネイバーフッド（近傍）上で\(C^\infty\)であるので、それは\(M\)上で\(C^\infty\)である。
3: 注
\(V\)は\(M\)上のファンクション（関数）に作用しない、なぜなら、\(V (p) \in TpM'\)、\(TpM\)の中ではなく。
