クローズドインターバル（閉区間）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のバウンダリー（境界）ポイントにおける\(C^k\)性は片方向デリバティブ（微分係数）たちにコンティニュアス（連続）性が付いたものたちの存在に等しく、デリバティブ（微分係数）たちは片方向デリバティブ（微分係数）たちであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の（半かもしれない）クローズドインターバル（閉区間）から任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）の中への任意のマップ（写像）の任意のクローズド（閉）バウンダリー（境界）ポイントにおける\(C^k\)性は片方向デリバティブ（微分係数）たちにコンティニュアス（連続）性が付いたものたちの存在に等しく、当該デリバティブ（微分係数）たちは当該片方向デリバティブ（微分係数）たちである、ここで、\(k\)は\(0\)および\(\infty\)を除外する、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(\mathbb{R}^d\)および\(\mathbb{R}\)、任意の（半かもしれない）クローズドインターバル（閉区間）\(J \subseteq \mathbb{R}\)で下方および上方バウンダリー（境界）ポイントたち\(t_1 \lt t_2\)（\(t_1 = t_2\)は除外する、なぜなら、\([t_1, t_1]\)に対しては片方向デリバティブ（微分係数）たちは意味をなさない）を持つもの、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq \mathbb{R}^d\)、任意のマップ（写像）\(f: J \to S\)に対して、任意のクローズド（閉）バウンダリーポイント（境界点）\(t_j \in J\)に対して、\(f\)は\(t_j\)において\(C^k\)である、もしも、\(f\)が\(t_j\)において片方向デリバティブ（微分係数）たちを持ち、当該デリバティブ（微分係数）マップ（写像）たちが\(t_j\)の\(J\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）上方でコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、そして、当該デリバティブ（微分係数）たちは片方向デリバティブ（微分係数）たちである。
2: 証明
\(f\)は\(t_j\)において\(C^k\)であると仮定しよう。
以下を満たす、\(t_j\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{t_j} = (t_j - \epsilon, t_j + \epsilon) \subseteq \mathbb{R}\)およびある\(C^k\)マップ（写像）\(f': U'_{t_j} \to \mathbb{R}^d\)、つまり、\(f' \vert_{U'_{t_j} \cap J} = f \vert_{U'_{t_j} \cap J}\)、がある、定義によって。
\(d^k f / d t^k \vert_{t_j}\)は\(d^k f' / d t^k \vert_{t_j}\)であると定義されている、しかし、\(d^k f' / d t^k \vert_{t_j}\)は\(f\)の片方向デリバティブ（微分係数）に等しい、したがって、片方向デリバティブ（微分係数）は存在する; 加えて、\(f\)はオープン（開）な\(U'_{t_j} \cap (J \setminus \{t_j\})\)上方でデリバティブ（微分係数）たちを持つ、なぜなら、そこで\(f' = f\)であり、\(f'\)はそこでデリバティブ（微分係数）たちを持つ、そして、\(d^k f' / d t^k: U'_{t_j} \cap J \to \mathbb{R}^d\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(d^k f / d t^k: U'_{t_j} \cap J \to \mathbb{R}^d\)（\(t_j\)における値は片方向によるもの）はコンティニュアス（連続）である。
\(f\)は\(t_j\)において片方向デリバティブ（微分係数）たちを持ち、\(t_j\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{t_j} = (t_j - \epsilon, t_j + \epsilon) \subseteq \mathbb{R}\)があって\(d^k f / d t^k: U'_{t_j} \cap J \to \mathbb{R}^d\)（\(t_j\)における値は片方向によるもの）はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
\(t_j\)は上方バウンダリーポイント（境界点）\(t_j = t_2\)であると仮定しよう。
\(\epsilon\)は\(t_1 \lt t_j - \epsilon\)であると取ることができる。
\(l\)位片方向デリバティブ（微分係数）を\(a_l\)と表記して、\(f': U'_{t_j} \to \mathbb{R}^d\)を、\(U'_{t_j} \cap J\)上方では\(f' = f\)、他の所では\(f' = f (t_1) + a_1 (t - t_j) + 1 / 2 a_2 (t - t_j)^2 + ... + 1 / k! a_k (t - t_j)^k\)として定義しよう。\(f'\)は\(U'_{t_j}\)全体でデリバティブ（微分係数）たちを持ち、当該デリバティブ（微分係数）マップ（写像）たちは\(U'_{t_j}\)上方でコンティニュアス（連続）である、なぜなら、当該デリバティブ（微分係数）たちは、\(U'_{t_j} \cap J = (t_j - \epsilon, t_j]\)上方で\(d^l f / d t^l\)に等しく、\(U'_{t_j}\)の当該クローズドサブスペース（閉部分空間）上方でコンティニュアス（連続）、そして、\((U'_{t_j} \setminus (U'_{t_j} \cap J)) \cup \{t_j\} = [t_j, t_j + \epsilon)\)上方で\(a_l\)に等しく、\(U'_{t_j}\)の当該クローズドサブスペース（閉部分空間）上方でコンティニュアス（連続）、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。
したがって、\(f\)は\(t_j\)において\(C^k\)である。
いずれにせよ、当該バウンダリーポイント（境界点）におけるデリバティブ（微分係数）たちは片方向デリバティブ（微分係数）たちである。
3: 注
\(k = \infty\)は除外されている、なぜなら、対応するインフィニット（無限）シリーズ（級数）\(f' = f (t_1) + a_1 (t - t_j) + 1 / 2 a_2 (t - t_j)^2 + ...\)は収束すると証明されていない。
しかし、前者方向は\(k = \infty\)ケースにも成立する。
