478: クローズドインターバル（閉区間）からユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のバウンダリー（境界）ポイントにおけるCk性は片方向デリバティブ（微分係数）たちにコンティニュアス（連続）性が付いたものたちの存在に等しく、デリバティブ（微分係数）たちは片方向デリバティブ（微分係数）たちである

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クローズドインターバル（閉区間）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のバウンダリー（境界）ポイントにおける$C^k$性は片方向デリバティブ（微分係数）たちにコンティニュアス（連続）性が付いたものたちの存在に等しく、デリバティブ（微分係数）たちは片方向デリバティブ（微分係数）たちであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の（半かもしれない）クローズドインターバル（閉区間）から任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）の中への任意のマップ（写像）の任意のクローズド（閉）バウンダリー（境界）ポイントにおける$C^k$性は片方向デリバティブ（微分係数）たちにコンティニュアス（連続）性が付いたものたちの存在に等しく、当該デリバティブ（微分係数）たちは当該片方向デリバティブ（微分係数）たちである、ここで、$k$は$0$および$\mathrm{\infty }$を除外する、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち${\mathbb{R}}^d$および$\mathbb{R}$、任意の（半かもしれない）クローズドインターバル（閉区間）$J\subseteq \mathbb{R}$で下方および上方バウンダリー（境界）ポイントたち$t_1<t_2$（$t_1=t_2$は除外する、なぜなら、$[t_1,t_1]$に対しては片方向デリバティブ（微分係数）たちは意味をなさない）を持つもの、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq {\mathbb{R}}^d$、任意のマップ（写像）$f:J\to S$に対して、任意のクローズド（閉）バウンダリーポイント（境界点）$t_j\in J$に対して、$f$は$t_j$において$C^k$である、もしも、$f$が$t_j$において片方向デリバティブ（微分係数）たちを持ち、当該デリバティブ（微分係数）マップ（写像）たちが$t_j$の$J$上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）上方でコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、そして、当該デリバティブ（微分係数）たちは片方向デリバティブ（微分係数）たちである。

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2: 証明

$f$は$t_j$において$C^k$であると仮定しよう。

以下を満たす、$t_j$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t_j}^{\prime }=(t_j-ϵ,t_j+ϵ)\subseteq \mathbb{R}$およびある$C^k$マップ（写像）$f^{\prime }:U_{t_j}^{\prime }\to {\mathbb{R}}^d$、つまり、$f^{\prime }{|}_{U_{t_j}^{\prime }\cap J}=f{|}_{U_{t_j}^{\prime }\cap J}$、がある、定義によって。

$d^{k}f/d{t}^k{|}_{t_j}$は$d^k{f}^{\prime }/d{t}^k{|}_{t_j}$であると定義されている、しかし、$d^k{f}^{\prime }/d{t}^k{|}_{t_j}$は$f$の片方向デリバティブ（微分係数）に等しい、したがって、片方向デリバティブ（微分係数）は存在する; 加えて、$f$はオープン（開）な$U_{t_j}^{\prime }\cap (J\setminus \{t_j\})$上方でデリバティブ（微分係数）たちを持つ、なぜなら、そこで$f^{\prime }=f$であり、$f^{\prime }$はそこでデリバティブ（微分係数）たちを持つ、そして、$d^k{f}^{\prime }/d{t}^k:U_{t_j}^{\prime }\cap J\to {\mathbb{R}}^d$はコンティニュアス（連続）であるから、$d^{k}f/d{t}^k:U_{t_j}^{\prime }\cap J\to {\mathbb{R}}^d$（$t_j$における値は片方向によるもの）はコンティニュアス（連続）である。

$f$は$t_j$において片方向デリバティブ（微分係数）たちを持ち、$t_j$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t_j}^{\prime }=(t_j-ϵ,t_j+ϵ)\subseteq \mathbb{R}$があって$d^{k}f/d{t}^k:U_{t_j}^{\prime }\cap J\to {\mathbb{R}}^d$（$t_j$における値は片方向によるもの）はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。

$t_j$は下方バウンダリーポイント（境界点）$t_j=t_1$であると仮定しよう。 $ϵ$は$t_j+ϵ<t_2$であると取ることができる。 $l$位片方向デリバティブ（微分係数）たちを$a_l$と表記し、$f^{\prime }:U_{t_j}^{\prime }\to {\mathbb{R}}^d$を$U_{t_j}^{\prime }\cap J$上方では$f^{\prime }=f$、他の所では$f^{\prime }=f(t_1)+a_1(t-t_j)+1/2a_2(t-t_j{)}^2+...+1/k!a_k(t-t_j{)}^k$、と定義しよう。$f^{\prime }$は$U_{t_j}^{\prime }$全体でデリバティブ（微分係数）たちを持ち、当該デリバティブ（微分係数）マップ（写像）たちは$U_{t_j}^{\prime }$上方でコンティニュアス（連続）である、なぜなら、当該デリバティブ（微分係数）たちは、$U_{t_j}^{\prime }\cap J=[t_j,t_j+ϵ)$上方で$d^{l}f/d{t}^l$に等しく、$U_{t_j}^{\prime }$の当該クローズドサブスペース（閉部分空間）上方でコンティニュアス（連続）、そして、$(U_{t_j}^{\prime }\setminus (U_{t_j}^{\prime }\cap J))\cup \{t_j\}=(t_j-ϵ,t_j]$上方で$a_l$に等しく、$U_{t_j}^{\prime }$の当該クローズドサブスペース（閉部分空間）上方でコンティニュアス（連続）、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。

$t_j$は上方バウンダリーポイント（境界点）$t_j=t_2$であると仮定しよう。

$ϵ$は$t_1<t_j-ϵ$であると取ることができる。

$l$位片方向デリバティブ（微分係数）を$a_l$と表記して、$f^{\prime }:U_{t_j}^{\prime }\to {\mathbb{R}}^d$を、$U_{t_j}^{\prime }\cap J$上方では$f^{\prime }=f$、他の所では$f^{\prime }=f(t_1)+a_1(t-t_j)+1/2a_2(t-t_j{)}^2+...+1/k!a_k(t-t_j{)}^k$として定義しよう。$f^{\prime }$は$U_{t_j}^{\prime }$全体でデリバティブ（微分係数）たちを持ち、当該デリバティブ（微分係数）マップ（写像）たちは$U_{t_j}^{\prime }$上方でコンティニュアス（連続）である、なぜなら、当該デリバティブ（微分係数）たちは、$U_{t_j}^{\prime }\cap J=(t_j-ϵ,t_j]$上方で$d^{l}f/d{t}^l$に等しく、$U_{t_j}^{\prime }$の当該クローズドサブスペース（閉部分空間）上方でコンティニュアス（連続）、そして、$(U_{t_j}^{\prime }\setminus (U_{t_j}^{\prime }\cap J))\cup \{t_j\}=[t_j,t_j+ϵ)$上方で$a_l$に等しく、$U_{t_j}^{\prime }$の当該クローズドサブスペース（閉部分空間）上方でコンティニュアス（連続）、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。

したがって、$f$は$t_j$において$C^k$である。

いずれにせよ、当該バウンダリーポイント（境界点）におけるデリバティブ（微分係数）たちは片方向デリバティブ（微分係数）たちである。

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3: 注

$k=\mathrm{\infty }$は除外されている、なぜなら、対応するインフィニット（無限）シリーズ（級数）$f^{\prime }=f(t_1)+a_1(t-t_j)+1/2a_2(t-t_j{)}^2+...$は収束すると証明されていない。

しかし、前者方向は$k=\mathrm{\infty }$ケースにも成立する。

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参考資料

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