477: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいてCkである、もしも、ポイントのサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）がポイントにおいてCkである場合

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいて$C^k$である、もしも、ポイントのサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）がポイントにおいて$C^k$である場合、ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）は任意のポイントにおいて$C^k$である、もしも、当該ポイントの任意のサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）が当該ポイントにおいて$C^k$である場合 、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

（空かもしれない）バウンダリー付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_1\subseteq M_1,S_2\subseteq M_2$、任意のポイント$p\in S_1$、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または$\mathrm{\infty }$ $k$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$に対して、$f$は$p$において(C^k\)である、もしも、$p$の$S_1$上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U\subseteq S_1$、つまり、$f{|}_U:U\to S_2$は$p$において$C^k$である、がある場合。

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2: 証明

$k=0$であると仮定しよう。

$f(p)$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq S_2$に対して、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq U$、つまり、$f{|}_U(U_p)\subseteq U_{f(p)}$、がある。$U_p\subseteq S_1$は$p$の$S_1$上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって、そして、$f(U_p)=f{|}_U(U_p)\subseteq U_{f(p)}$。

$\mathrm{\infty }$を含んで$1\le k$であると仮定しよう。

以下を満たす、$p$の周りのあるチャート$(U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime })$および$f(p)$の周りのあるチャート$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$、つまり、$f{|}_U(U_p^{\prime }\cap U)\subseteq U_{f(p)}$および${\varphi }_{f(p)}\circ f{|}_U\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap U)}$は${\varphi }_p^{\prime }(p)$において$C^k$である、がある。

$U=U^{\prime }\cap S_1$、あるオープンサブセット（開部分集合）$U^{\prime }\subseteq M_1$に対して。$(U_p^{\prime }\cap U^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap U^{\prime }})$はチャートとである。$f(U_p^{\prime }\cap U^{\prime }\cap S_1)=f(U_p^{\prime }\cap U)\subseteq U_{f(p)}$および${\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap U^{\prime }}}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap U^{\prime }}(U_p^{\prime }\cap U^{\prime }\cap S_1)}={\varphi }_{f(p)}\circ f{|}_U\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap U)}$は${\varphi }_p^{\prime }(p)$において$C^k$である。

したがって、当該ペア$(U_p^{\prime }\cap U^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap U^{\prime }})$および$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$を$f$のために用いることができる。

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参考資料

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