バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいて\(C^k\)である、もしも、ポイントのサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）がポイントにおいて\(C^k\)である場合、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）は任意のポイントにおいて\(C^k\)である、もしも、当該ポイントの任意のサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）が当該ポイントにおいて\(C^k\)である場合 、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
（空かもしれない）バウンダリー付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1 \subseteq M_1, S_2 \subseteq M_2\)、任意のポイント\(p \in S_1\)、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または\(\infty\) \(k\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)に対して、\(f\)は\(p\)において(C^k\)である、もしも、\(p\)の\(S_1\)上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U \subseteq S_1\)、つまり、\(f \vert_{U}: U \to S_2\)は\(p\)において\(C^k\)である、がある場合。
2: 証明
\(k = 0\)であると仮定しよう。
\(f (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq S_2\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq U\)、つまり、\(f \vert_{U} (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、がある。\(U_p \subseteq S_1\)は\(p\)の\(S_1\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって、そして、\(f (U_p) = f \vert_{U} (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)。
\(\infty\)を含んで\(1 \le k\)であると仮定しよう。
以下を満たす、\(p\)の周りのあるチャート\((U'_p \subseteq M_1, \phi'_p)\)および\(f (p)\)の周りのあるチャート\((U_{f (p)} \subseteq M_2, \phi_{f (p)})\)、つまり、\(f \vert_U (U'_p \cap U) \subseteq U_{f (p)}\)および\(\phi_{f (p)} \circ f \vert_U \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap U)}\)は\(\phi'_p (p)\)において\(C^k\)である、がある。
\(U = U' \cap S_1\)、あるオープンサブセット（開部分集合）\(U' \subseteq M_1\)に対して。\((U'_p \cap U' \subseteq M_1, \phi'_p \vert_{U'_p \cap U'})\)はチャートとである。\(f (U'_p \cap U' \cap S_1) = f (U'_p \cap U) \subseteq U_{f (p)}\)および\(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p \vert_{U'_p \cap U'}}^{-1} \vert_{\phi'_p \vert_{U'_p \cap U'} (U'_p \cap U'\cap S_1)} = \phi_{f (p)} \circ f \vert_U \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap U)}\)は\(\phi'_p (p)\)において\(C^k\)である。
したがって、当該ペア\((U'_p \cap U' \subseteq M_1, \phi'_p \vert_{U'_p \cap U'})\)および\((U_{f (p)} \subseteq M_2, \phi_{f (p)})\)を\(f\)のために用いることができる。
