バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、任意の\(C^\infty\)マップ（写像）\(f: M_1 \to M_2\)、任意のポイント\(p \in M_1\)に対して、以下を満たすマップ（写像）\(d f_p: T_pM_1 \to T_{f (p)}M_2\), \(v \mapsto d f_p (v)\)、つまり、任意の\(f' \in C^\infty (M_2)\)に対して、\(d f_p (v) (f') = v (f' \circ f)\)
2: 注
\(d f_p (v)\)は実際にデリベイションである、なぜなら、任意の\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\(d f_p (v) (r f') = v (r f' \circ f) = r v (f' \circ f) = r d f_p (v) (f')\)であり、\(\mathbb{R}\)リニア（線形）である; \(d f_p (v) (f'_1 f'_2) = v ((f'_1 f'_2) \circ f) = v ((f'_1 \circ f) (f'_2 \circ f)) = v (f'_1 \circ f) (f'_2 \circ f (p)) + (f'_1 \circ f (p)) v (f'_2 \circ f) = d f_p (v) (f'_1) f'_2 (f (p)) + f'_1 (f (p)) d f_p (v) (f'_2)\)であり、ライプニッツルールを満たす。
