489: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）たち間C∞マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャル

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、タンジェント（接）ベクトルの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）$f:M_1\to M_2$、任意のポイント$p\in M_1$に対して、以下を満たすマップ（写像）$d{f}_p:T_p{M}_1\to T_{f(p)}{M}_2$, $v\mapsto d{f}_p(v)$、つまり、任意の$f^{\prime }\in C^{\mathrm{\infty }}(M_2)$に対して、$d{f}_p(v)(f^{\prime })=v(f^{\prime }\circ f)$

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2: 注

$d{f}_p(v)$は実際にデリベイションである、なぜなら、任意の$r\in \mathbb{R}$に対して、$d{f}_p(v)(r{f}^{\prime })=v(r{f}^{\prime }\circ f)=rv(f^{\prime }\circ f)=rd{f}_p(v)(f^{\prime })$であり、$\mathbb{R}$リニア（線形）である; $d{f}_p(v)(f_1^{\prime }{f}_2^{\prime })=v((f_1^{\prime }{f}_2^{\prime })\circ f)=v((f_1^{\prime }\circ f)(f_2^{\prime }\circ f))=v(f_1^{\prime }\circ f)(f_2^{\prime }\circ f(p))+(f_1^{\prime }\circ f(p))v(f_2^{\prime }\circ f)=d{f}_p(v)(f_1^{\prime })f_2^{\prime }(f(p))+f_1^{\prime }(f(p))d{f}_p(v)(f_2^{\prime })$であり、ライプニッツルールを満たす。

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参考資料

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