バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）からバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のポイントイメージ（像）のネイバーフッド（近傍）上へのディフェオモーフィズムに対して、ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含むの定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のディフェオモーフィズムの定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルを知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のバウンダリー付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）はローカルにコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）からの任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）および当該クローズドサブセット（閉部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、当該バウンダリー（境界）付きマニフォールド（多様体）上方での\(C^\infty\)エクステンション（拡張）で当該オープンネイバーフッド（開近傍）内にサポートされていてものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のポイントにおける任意のタンジェントベクトルはある\(C^\infty\)カーブによって実現されるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）モーフィズム（射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニアモーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）から任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のポイントイメージ（像）の任意のネイバーフッド（近傍）上への任意のディフェオモーフィズムに対して、当該ディフェオモーフィズムまたはその任意のコドメイン（余域）エクステンション（拡張）の当該ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 注
任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間の任意のディフェオモーフィズムに対して、対応する命題はよく知られている; 本命題は、コドメイン（余域）がバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）全体でないケースについてである。
ドメイン（定義域）はバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）全体でなければならない、なぜなら、ディファレンシャルの定義は、\(g \circ f\)が当該バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）全体上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）であることを要求する、ディファレンシャルの定義が何らかの形で拡張されなければ。
2: 記述
任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、任意のポイント\(p \in M_1\)、任意のディフェオモーフィズム\(f: M_1 \to N_{f (p)}\)、ここで、\(N_{f (p)} \subseteq M_2\)は\(f (p)\)の任意のネイバーフッド（近傍）、に対して、\(f\)の\(p\)におけるディファレンシャル\(d f \vert_p: T_pM_1 \to T_{f (p)}M_2\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
実のところ、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq M_2\)、つまり、\(N_{f (p)} \subseteq S\)（特に\(S = M_2\)）、\(f\)のコドメイン（余域）上での以下を満たすエクステンション（拡張）\(f': M_1 \to S\)、つまり、\(f' = f\)、に対して、\(d f' \vert_p: T_pM_1 \to T_{f (p)}M_2\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 証明
\(d f \vert_p\)はインジェクティブ（単射）であることを証明しよう。
\(v \neq v' \in T_pM_1\)を任意のタンジェントベクトルとしよう。
\(d f \vert_p v \neq d f \vert_p v'\)？以下を満たすある\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(g: M_2 \to \mathbb{R}\)、つまり、\(d f \vert_p v (g) \neq d f \vert_p v' (g)\)、があるか？
\(d f \vert_p v (g) = v (g \circ f)\); \(d f \vert_p v' (g) = v' (g \circ f)\)。
以下を満たすある\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(h: M_1 \to \mathbb{R}\)、つまり、\(v (h) \neq v' (h)\)、がある。
\(M_2\)はローカルにコンパクトハウスドルフである、任意のバウンダリー付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）はローカルにコンパクトであるという命題によって、から、\(f (p)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq M_2\)、つまり、\(\overline{U_{f (p)}} \subseteq N_{f (p)}\)、がある、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題によって。
\(f^{-1} \vert_{\overline{U_{f (p)}}}: \overline{U_{f (p)}} \to M_1\)は\(\overline{U_{f (p)}}\)上方で\(C^\infty\)である、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。\(h \circ f^{-1} \vert_{\overline{U_{f (p)}}}: \overline{U_{f (p)}} \to \mathbb{R}\)は\(\overline{U_{f (p)}}\)上方で\(C^\infty\)である、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
以下を満たすある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(g: M_2 \to \mathbb{R}\)、つまり、\(g \vert_{\overline{U_{f (p)}}} = h \circ f^{-1} \vert_{\overline{U_{f (p)}}}\)、がある、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）からの任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）および当該クローズドサブセット（閉部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、当該バウンダリー（境界）付きマニフォールド（多様体）上方での\(C^\infty\)エクステンション（拡張）で当該オープンネイバーフッド（開近傍）内にサポートされていてものがあるという命題によって。
\(f\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）であるから、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq M_1\)、つまり、\(f (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、がある。\(g \circ f \vert_{U_p} = h \circ f^{-1} \vert_{\overline{U_{f (p)}}} \circ f \vert_{U_p} = h \vert_{U_p}\)。任意のタンジェントベクトルはローカルオペレーターであるから、そのアクションは当該ポイントの任意のオープンネイバーフッド（開近傍）にのみ依存する、したがって、\(v (g \circ f) = v (h) \neq v' (h) = v' (g \circ f)\)。
したがって、はい、以下を満たすある\(g\)、つまり、\(d f \vert_p v (g) = v (g \circ f) \neq v' (g \circ f) = d f \vert_p v' (g)\)、があり、はい、\(d f \vert_p v \neq d f \vert_p v'\)、そして、\(d f \vert_p\)はインジェクティブ（単射）である。
\(d f \vert_p\)はサージェクティブ（全射）であることを証明しよう。
\(T_{f (p)}M_2\)上の任意のタンジェントベクトルはある\(C^\infty\)カーブ\(\gamma: J \to U_{f (p)}\)、ここで、\(J = (- \epsilon, \epsilon)\text{, } [0, \epsilon)\text{, or } (- \epsilon, 0]\)、によって実現される、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のポイントにおける任意のタンジェントベクトルはある\(C^\infty\)カーブによって実現されるという命題によって、ので、以下を満たすある\(C^\infty\)カーブ\(\gamma': J \to M_1\)、つまり、\(\gamma = f \circ \gamma'\)、を指定しよう。
\(\gamma' := f^{-1} \circ \gamma\)でよい、なぜなら、\(f \circ \gamma' = f \circ f^{-1} \circ \gamma = \gamma\)。\(\gamma'\)は実際に\(C^\infty\)である、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(p\)はバウンダリー（境界）ポイントである時は、\(J\)のタイプが何であれ、\(\gamma'\)は\(T_pM_1\)上のあるタンジェントベクトルを実現する。
\(p\)はバウンダリー（境界）ポイントでなく\(J = (- \epsilon, \epsilon)\)である時は、\(\gamma'\)は\(T_pM_1\)上のあるタンジェントベクトルを実現する。
\(p\)がバウンダリーポイントでなく、\(J = [0, \epsilon) \text{ or } (- \epsilon, 0]\)である時は、あるポジティブ\(\epsilon' \le \epsilon\)およびあるチャート\((U_p \subseteq M_1, \phi_p)\)があり、\(J' := [0, \epsilon') \text{ or } (- \epsilon', 0]\)および\(\phi_p \circ \gamma' \vert_{J'}: J' \to \phi_p (U_p)\)は\(C^\infty\)である、したがって、\(\phi_p \circ \gamma' \vert_{J'}\)のある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(\gamma'': (- \epsilon'', \epsilon'') \to \mathbb{R}^d\)、ここで、\(\epsilon''\)は\(\epsilon'' \le \epsilon'\)であるように選ぶことができ選ぶ、がある、しかし、\(\gamma''\)は\(0\)においてコンティニュアス（連続）であるから、\(\epsilon''\)は\(\gamma'' ((- \epsilon'', \epsilon'')) \subseteq \phi_p (U_p) \subseteq \mathbb{R}^d\)であるように選べる、なぜなら、\(\phi_p (U_p)\)は\(\mathbb{R}^d\)上でオープン（開）である、そして、\(\gamma''': (- \epsilon'', \epsilon'') \to M_1 = {\phi_p}^{-1} \circ \gamma''\)を定義しよう、それは、\(T_pM_1\)上のあるタンジェントベクトルを実現し、\(\gamma \vert_{[0, \epsilon'') \text{ or } (- \epsilon'', 0]} = f \circ \gamma''' \vert_{[0, \epsilon'') \text{ or } (- \epsilon'', 0]}\)を満たしたままである、なぜなら、\(f \circ \gamma''' \vert_{[0, \epsilon'') \text{ or } (- \epsilon'', 0]} = f \circ {\phi_p}^{-1} \circ \gamma'' \vert_{[0, \epsilon'') \text{ or } (- \epsilon'', 0]} = f \circ {\phi_p}^{-1} \circ \phi_p \circ \gamma' \vert_{[0, \epsilon'') \text{ or } (- \epsilon'', 0]} = f \circ \gamma' \vert_{[0, \epsilon'') \text{ or } (- \epsilon'', 0]} = \gamma \vert_{[0, \epsilon'') \text{ or } (- \epsilon'', 0]}\)。実のところ、\(\gamma\)は\((- \epsilon'', \epsilon'')\)からのものと取ることができたのである、初めから。
\(d f \vert_p\)は実際に、\(\gamma'\)によって実現されるタンジェントベクトル（または、\(\gamma'''\)、しかし、私たちは、今後両方を\(\gamma'\)と呼ぶ）を\(\gamma\)によって実現されるタンジェントベクトルへマップする、なぜなら、\(d f \vert_p d \gamma' / d t \vert_0 (g) = d \gamma' / d t \vert_0 (g \circ f) = d (g \circ f \circ \gamma') / d t \vert_0 = d (f \circ \gamma') / d t \vert_0 (g) = d \gamma / d t \vert_0 (g)\)。
したがって、\(d f \vert_p\)はサージェクティブ（全射）である。
\(d f \vert_p\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）モーフィズム（射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニアモーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
\(d f' \vert_p\)に対しては、実のところ、\(d f' \vert_p = d f \vert_p\)、なぜなら、\(d f' \vert_p v (g) = v (g \circ f') = v (g \circ f) = d f \vert_p v (g)\)。
したがって、\(d f' \vert_p\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
