490: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）からバウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）上のポイントイメージ（像）のネイバーフッド（近傍）上へのディフェオモーフィズムに対して、ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）からバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上のポイントイメージ（像）のネイバーフッド（近傍）上へのディフェオモーフィズムに対して、ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 注
• 2: 記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含むの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のディフェオモーフィズムの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルを知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のバウンダリー付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）はローカルにコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題を認めている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）からの任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）および当該クローズドサブセット（閉部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、当該バウンダリー（境界）付きマニフォールド（多様体）上方での$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）で当該オープンネイバーフッド（開近傍）内にサポートされていてものがあるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上の任意のポイントにおける任意のタンジェントベクトルはある$C^{\mathrm{\infty }}$カーブによって実現されるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）モーフィズム（射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニアモーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）から任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上の任意のポイントイメージ（像）の任意のネイバーフッド（近傍）上への任意のディフェオモーフィズムに対して、当該ディフェオモーフィズムまたはその任意のコドメイン（余域）エクステンション（拡張）の当該ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 注

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間の任意のディフェオモーフィズムに対して、対応する命題はよく知られている; 本命題は、コドメイン（余域）がバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）全体でないケースについてである。

ドメイン（定義域）はバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）全体でなければならない、なぜなら、ディファレンシャルの定義は、$g\circ f$が当該バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）全体上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）であることを要求する、ディファレンシャルの定義が何らかの形で拡張されなければ。

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2: 記述

任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2$、任意のポイント$p\in M_1$、任意のディフェオモーフィズム$f:M_1\to N_{f(p)}$、ここで、$N_{f(p)}\subseteq M_2$は$f(p)$の任意のネイバーフッド（近傍）、に対して、$f$の$p$におけるディファレンシャル$df{|}_p:T_p{M}_1\to T_{f(p)}{M}_2$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

実のところ、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq M_2$、つまり、$N_{f(p)}\subseteq S$（特に$S=M_2$）、$f$のコドメイン（余域）上での以下を満たすエクステンション（拡張）$f^{\prime }:M_1\to S$、つまり、$f^{\prime }=f$、に対して、$d{f}^{\prime }{|}_p:T_p{M}_1\to T_{f(p)}{M}_2$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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3: 証明

$df{|}_p$はインジェクティブ（単射）であることを証明しよう。

$v\ne v^{\prime }\in T_p{M}_1$を任意のタンジェントベクトルとしよう。

$df{|}_{p}v\ne df{|}_p{v}^{\prime }$？以下を満たすある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$g:M_2\to \mathbb{R}$、つまり、$df{|}_{p}v(g)\ne df{|}_p{v}^{\prime }(g)$、があるか？

$df{|}_{p}v(g)=v(g\circ f)$; $df{|}_p{v}^{\prime }(g)=v^{\prime }(g\circ f)$。

以下を満たすある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$h:M_1\to \mathbb{R}$、つまり、$v(h)\ne v^{\prime }(h)$、がある。

$M_2$はローカルにコンパクトハウスドルフである、任意のバウンダリー付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）はローカルにコンパクトであるという命題によって、から、$f(p)$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq M_2$、つまり、$\overline{U_{f(p)}}\subseteq N_{f(p)}$、がある、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題によって。

$f^{-1}{|}_{\overline{U_{f(p)}}}:\overline{U_{f(p)}}\to M_1$は$\overline{U_{f(p)}}$上方で$C^{\mathrm{\infty }}$である、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。$h\circ f^{-1}{|}_{\overline{U_{f(p)}}}:\overline{U_{f(p)}}\to \mathbb{R}$は$\overline{U_{f(p)}}$上方で$C^{\mathrm{\infty }}$である、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

以下を満たすある$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）$g:M_2\to \mathbb{R}$、つまり、$g{|}_{\overline{U_{f(p)}}}=h\circ f^{-1}{|}_{\overline{U_{f(p)}}}$、がある、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）からの任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）および当該クローズドサブセット（閉部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、当該バウンダリー（境界）付きマニフォールド（多様体）上方での$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）で当該オープンネイバーフッド（開近傍）内にサポートされていてものがあるという命題によって。

$f$は$p$においてコンティニュアス（連続）であるから、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq M_1$、つまり、$f(U_p)\subseteq U_{f(p)}$、がある。$g\circ f{|}_{U_p}=h\circ f^{-1}{|}_{\overline{U_{f(p)}}}\circ f{|}_{U_p}=h{|}_{U_p}$。任意のタンジェントベクトルはローカルオペレーターであるから、そのアクションは当該ポイントの任意のオープンネイバーフッド（開近傍）にのみ依存する、したがって、$v(g\circ f)=v(h)\ne v^{\prime }(h)=v^{\prime }(g\circ f)$。

したがって、はい、以下を満たすある$g$、つまり、$df{|}_{p}v(g)=v(g\circ f)\ne v^{\prime }(g\circ f)=df{|}_p{v}^{\prime }(g)$、があり、はい、$df{|}_{p}v\ne df{|}_p{v}^{\prime }$、そして、$df{|}_p$はインジェクティブ（単射）である。

$df{|}_p$はサージェクティブ（全射）であることを証明しよう。

$T_{f(p)}{M}_2$上の任意のタンジェントベクトルはある$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ$\gamma :J\to U_{f(p)}$、ここで、$J=(-ϵ,ϵ)\text{, }[0,ϵ)\text{, or }(-ϵ,0]$、によって実現される、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上の任意のポイントにおける任意のタンジェントベクトルはある$C^{\mathrm{\infty }}$カーブによって実現されるという命題によって、ので、以下を満たすある$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ${\gamma }^{\prime }:J\to M_1$、つまり、$\gamma =f\circ {\gamma }^{\prime }$、を指定しよう。

${\gamma }^{\prime }:=f^{-1}\circ \gamma$でよい、なぜなら、$f\circ {\gamma }^{\prime }=f\circ f^{-1}\circ \gamma =\gamma$。${\gamma }^{\prime }$は実際に$C^{\mathrm{\infty }}$である、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

$p$はバウンダリー（境界）ポイントである時は、$J$のタイプが何であれ、${\gamma }^{\prime }$は$T_p{M}_1$上のあるタンジェントベクトルを実現する。

$p$はバウンダリー（境界）ポイントでなく$J=(-ϵ,ϵ)$である時は、${\gamma }^{\prime }$は$T_p{M}_1$上のあるタンジェントベクトルを実現する。

$p$がバウンダリーポイントでなく、$J=[0,ϵ)\text{ or }(-ϵ,0]$である時は、あるポジティブ${ϵ}^{\prime }\le ϵ$およびあるチャート$(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)$があり、$J^{\prime }:=[0,{ϵ}^{\prime })\text{ or }(-{ϵ}^{\prime },0]$および${\varphi }_p\circ {\gamma }^{\prime }{|}_{J^{\prime }}:J^{\prime }\to {\varphi }_p(U_p)$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、したがって、${\varphi }_p\circ {\gamma }^{\prime }{|}_{J^{\prime }}$のある$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）${\gamma }^{″}:(-{ϵ}^{″},{ϵ}^{″})\to {\mathbb{R}}^d$、ここで、${ϵ}^{″}$は${ϵ}^{″}\le {ϵ}^{\prime }$であるように選ぶことができ選ぶ、がある、しかし、${\gamma }^{″}$は$0$においてコンティニュアス（連続）であるから、${ϵ}^{″}$は${\gamma }^{″}((-{ϵ}^{″},{ϵ}^{″}))\subseteq {\varphi }_p(U_p)\subseteq {\mathbb{R}}^d$であるように選べる、なぜなら、${\varphi }_p(U_p)$は${\mathbb{R}}^d$上でオープン（開）である、そして、${\gamma }^{‴}:(-{ϵ}^{″},{ϵ}^{″})\to M_1={{\varphi }_p}^{-1}\circ {\gamma }^{″}$を定義しよう、それは、$T_p{M}_1$上のあるタンジェントベクトルを実現し、$\gamma {|}_{[0,{ϵ}^{″})\text{ or }(-{ϵ}^{″},0]}=f\circ {\gamma }^{‴}{|}_{[0,{ϵ}^{″})\text{ or }(-{ϵ}^{″},0]}$を満たしたままである、なぜなら、$f\circ {\gamma }^{‴}{|}_{[0,{ϵ}^{″})\text{ or }(-{ϵ}^{″},0]}=f\circ {{\varphi }_p}^{-1}\circ {\gamma }^{″}{|}_{[0,{ϵ}^{″})\text{ or }(-{ϵ}^{″},0]}=f\circ {{\varphi }_p}^{-1}\circ {\varphi }_p\circ {\gamma }^{\prime }{|}_{[0,{ϵ}^{″})\text{ or }(-{ϵ}^{″},0]}=f\circ {\gamma }^{\prime }{|}_{[0,{ϵ}^{″})\text{ or }(-{ϵ}^{″},0]}=\gamma {|}_{[0,{ϵ}^{″})\text{ or }(-{ϵ}^{″},0]}$。実のところ、$\gamma$は$(-{ϵ}^{″},{ϵ}^{″})$からのものと取ることができたのである、初めから。

$df{|}_p$は実際に、${\gamma }^{\prime }$によって実現されるタンジェントベクトル（または、${\gamma }^{‴}$、しかし、私たちは、今後両方を${\gamma }^{\prime }$と呼ぶ）を$\gamma$によって実現されるタンジェントベクトルへマップする、なぜなら、$df{|}_{p}d{\gamma }^{\prime }/dt{|}_0(g)=d{\gamma }^{\prime }/dt{|}_0(g\circ f)=d(g\circ f\circ {\gamma }^{\prime })/dt{|}_0=d(f\circ {\gamma }^{\prime })/dt{|}_0(g)=d\gamma /dt{|}_0(g)$。

したがって、$df{|}_p$はサージェクティブ（全射）である。

$df{|}_p$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）モーフィズム（射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニアモーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

$d{f}^{\prime }{|}_p$に対しては、実のところ、$d{f}^{\prime }{|}_p=df{|}_p$、なぜなら、$d{f}^{\prime }{|}_{p}v(g)=v(g\circ f^{\prime })=v(g\circ f)=df{|}_{p}v(g)$。

したがって、$d{f}^{\prime }{|}_p$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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参考資料

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