バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントを包含するドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいて\(C^k\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1, S'_1 \subseteq M_1, S_2 \subseteq M_2\)、つまり、\(S'_1 \subseteq S_1\)、任意のポイント\(p \in S'_1\)、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または\(\infty\) \(k\)、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)、つまり、\(f\)は\(p\)において\(C^k\)である、に対して、\(f \vert_{S'_1}: S'_1 \to S_2\)は\(p\)において\(C^k\)である。
2: 証明
\(k = 0\)だと仮定しよう。
\(f (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq S_2\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq S_1\)、つまり、\(f (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、がある。\(U_p \cap S'_1 \subseteq S'_1\)は\(p\)の\(S'_1\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(f \vert_{S'_1} (U_p \cap S'_1) \subseteq U_{f (p)}\)。
\(\infty\)を含んで\(1 \le k\)であると仮定しよう。
以下を満たす、\(p\)の周りのあるチャート\((U'_p \subseteq M_1, \phi'_p)\)および\(f (p)\)の周りのあるチャート\((U_{f (p)} \subseteq M_2, \phi_{f (p)})\)、つまり、\(f (U'_p \cap S_1) \subseteq U_{f (p)}\)および\(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap S_1)}\)は\(\phi'_p (p)\)において\(C^k\)である、がある。
\(f \vert_{S'_1} (U'_p \cap S'_1) \subseteq U_{f (p)}\)および\(\phi_{f (p)} \circ f \vert_{S'_1} \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap S'_1)} = \phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap S'_1)}\)は\(\phi'_p (p)\)において\(C^k\)である、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
したがって、同じチャートたちペアを\(f \vert_{S'_1}\)のために用いることができる。
