475: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてCkであるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてCkである

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成)は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題を認めている。
• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち }\}$
$S_1$: $\in \{M_1\text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}$
$S_2$: $\in \{M_2\text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}$
$S_2^{\prime }$: $\in \{M_2\text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}$で、$S_2\subseteq S_2^{\prime }$を満たすもの
$S_3$: $\in \{M_3\text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}$
$p$: $\in S_1$
$k$: $\in \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}$
$f_1$: $:S_1\to S_2$, $\in \{\text{ 全てのマップ（写像）たちで }p\text{ において }{C}^k\text{ であるものたち }\}$
$f_2$: $:S_2^{\prime }\to S_3$, $\in \{\text{ 全てのマップ（写像）たちで }{f}_1(p)\text{ において }{C}^k\text{ であるものたち }\}$
$f_2\circ f_1$: $:S_1\to S_3$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_2\circ f_1\in \{\text{ 全てのマップ（写像）たちで }p\text{ において }{C}^k\text{ であるものたち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き、たち$M_1,M_2,M_3$、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）たち$S_1\subseteq M_1,S_2,S_2^{\prime }\subseteq M_2,S_3\subseteq M_3$、つまり、$S_2\subseteq S_2^{\prime }$、任意のポイント$p\in S_1$、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または$\mathrm{\infty }$ $k$、以下を満たす任意のマップ（写像）たち$f_1:S_1\to S_2,f_2:S_2^{\prime }\to S_3$、つまり、$f_1$および$f_2$は$p$および$f_1(p)$において$C^k$である、に対して、$f_2\circ f_1:S_1\to S_3$は$p$において$C^k$である。

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3: 注

$S_2$と$S_2^{\prime }$が同一$M_2$のサブセット（部分集合）たちであると見なされることが重要である: もしも、$f_2$が、$S_2^{\prime }$が$M_2$と同一セット（集合）を持つが異なるトポロジーまたは異なるアトラスを持つ別の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、$M_2^{\prime }$のサブセット（部分集合）とみなされて$C^k$であったら、本命題は適用できない。

明らかな例として、$k=0$ケースに対して、もしも、$M_2^{\prime }$に対して異なるトポロジーを選ぶことが許されるのであれば、私であれば,$M_2^{\prime }$に対してディスクリートトポロジーを選ぶだろう、それは、任意の$f_2$をコンティニュアス（連続）にするだろう（任意のディスクリートトポロジカルスペース（空間）からの任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である）、そして、本命題は、どんな$f_2$に対しても、$f_2\circ f_1$はコンティニュアス（連続）であることを含意することになる、それは勿論真でない。

私たちは、$C^k$マップ（写像）たちのコンポジション（合成）を"$C^k$マップ（写像）たちの妥当な連鎖"であると呼ぶ、本命題に対する要件たちが満たされている時（$S_2$および$S_2^{\prime }$が同一$M_2$のサブセット（部分集合）たちであると共に$S_2\subseteq S_2^{\prime }$）。それは、私たち（または、少なくとも私）は、当該要件たちをチェックし損ねがちであるから。

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4: 証明

$k=0$であると仮定しよう。

$f_2\circ f_1$は$p$においてコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成)は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。

$\mathrm{\infty }$を含んで$1\le k$であると仮定しよう。

以下を満たす、$f_1(p)$の周りのあるチャート$(U_{f_1(p)}^{\prime }\subseteq M_2,{\varphi }_{f_1(p)}^{\prime })$および$f_2\circ f_1(p)$の周りのあるチャート$(U_{f_2\circ f_1(p)}\subseteq M_3,{\varphi }_{f_2\circ f_1(p)})$、つまり、$f_2(U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2^{\prime })\subseteq U_{f_2\circ f_1(p)}$で${\varphi }_{f_2\circ f_1(p)}\circ f_2\circ {{\varphi }_{f_1(p)}^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_{f_1(p)}^{\prime }(U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2^{\prime })}$は${\varphi }_{f_1(p)}^{\prime }(f_1(p))$において$C^k$である、がある。

$f_1$は$p$においてコンティニュアス（連続）である（当該定義内の注を参照）から、$p$の$S_1$上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq S_1$、つまり、$f_1(U_p)\subseteq U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2$、ここで、あるオープンサブセット（開部分集合）$U^{\prime }\subseteq M_1$に対して$U_p=U^{\prime }\cap S_1$、がある。$p$の周りに以下を満たすあるチャート$(U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime })$、つまり、$U_p^{\prime }\subseteq U^{\prime }$、がある。$f_1(U_p^{\prime }\cap S_1)\subseteq f_1(U_p)\subseteq U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2\subseteq U_{f_1(p)}^{\prime }$。任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題によって、${\varphi }_{f_1(p)}^{\prime }\circ f_1\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap S_1)}$は${\varphi }_p^{\prime }(p)$において$C^k$である。

$f_2\circ f_1(U_p^{\prime }\cap S_1)\subseteq f_2(U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2)\subseteq f_2(U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2^{\prime })\subseteq U_{f_2\circ f_1(p)}$。${\varphi }_{f_2\circ f_1(p)}\circ f_2\circ f_1\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap S_1)}={\varphi }_{f_2\circ f_1(p)}\circ f_2\circ {{\varphi }_{f_1(p)}^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_{f_1(p)}^{\prime }(U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2^{\prime })}\circ {\varphi }_{f_1(p)}^{\prime }\circ f_1\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap S_1)}$、それは、${\varphi }_p^{\prime }(p)$において$C^k$である、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

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参考資料

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