474: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてCkであるものに対して、ドメイン（定義域）チャートとコドメイン（余域）チャートの任意の可能なペアは定義の条件を満たす

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるものに対して、ドメイン（定義域）チャートとコドメイン（余域）チャートの任意の可能なペアは定義の条件を満たすことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 注
• 2: 記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）は任意のポイントにおいて$C^k$である、もしも、当該ポイントの任意のサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）が当該ポイントにおいて$C^k$である場合、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 注

当該定義が直接に要求しているのは、諸条件たちを満たすあるドメイン（定義域）チャートとあるコドメイン（余域）チャートのあるペアがあるということだけであって、任意の可能なペアが当該条件を満足するということではなく、本命題は、後者が実際には含意されているということを確認する。

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2: 記述

（空かもしれない）バウンダリー（境界）付きの任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_1\subseteq M_1,S_2\subseteq M_2$、任意のポイント$p\in S_1$、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を除く）または$\mathrm{\infty }$ $k$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$で$p$において$C^k$であるものに対して、以下を満たす、$p$の周りの任意のチャート$(U_p^{″}\subseteq M_1,{\varphi }_p^{″})$および$f(p)$の周りの任意のチャート$(U_{f(p)}^{\prime }\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)}^{\prime })$のペア、つまり、$f(U_p^{″}\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}^{\prime }$、は当該定義の当該条件を満たす: ${\varphi }_{f(p)}^{\prime }\circ f\circ {{\varphi }_p^{″}}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap S_1)}:{\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap S_1)\to {\varphi }_{f(p)}^{\prime }(U_{f(p)}^{\prime })$は${\varphi }_p^{″}(p)$において$C^k$である。

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3: 証明

当該定義によって、以下を満たす、$p$の周りのあるチャート$(U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime })$および$f(p)$の周りのあるチャート$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$、つまり、$f(U_p^{\prime }\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}$で${\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap S_1)}:{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap S_1)\to {\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)})$は${\varphi }_p^{\prime }(p)$において$C^k$である、がある。

${\varphi }_{f(p)}^{\prime }\circ f\circ {{\varphi }_p^{″}}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap S_1)}={\varphi }_{f(p)}^{\prime }\circ {{\varphi }_{f(p)}}^{-1}\circ {\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}\circ {\varphi }_p^{\prime }\circ {{\varphi }_p^{″}}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap S_1)}$。

${\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap U_p^{″}\cap S_1)}$は${\varphi }_p^{\prime }(p)$において$C^k$である、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。${\varphi }_p^{\prime }\circ {{\varphi }_p^{″}}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap S_1)}$および${\varphi }_{f(p)}^{\prime }\circ {{\varphi }_{f(p)}}^{-1}$は${\varphi }_p^{″}(p)$および${\varphi }_{f(p)}(f(p))$において$C^k$である、なぜなら、トランジション（遷移）マップ（写像）たちはディフェオモーフィックである、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

したがって、コンポジション（合成）${\varphi }_{f(p)}^{\prime }\circ {{\varphi }_{f(p)}}^{-1}\circ {\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}\circ {\varphi }_p^{\prime }\circ {{\varphi }_p^{″}}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap S_1)}$は${\varphi }_p^{″}(p)$において$C^k$である、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

${\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap S_1)={\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap S_1)\cap {\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime })$（任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって）)は${\varphi }_p^{″}(p)$の${\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap S_1)$上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、${\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime })$は${\mathbb{H}}^{d_1}$または${\mathbb{R}}^{d_1}$上でオープン（開）である: $(U_p^{″}\subseteq M_1,{\varphi }_p^{″})$がバウンダリー（境界）チャートである時、あるオープン（開）$U\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$に対して${\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime })=U\cap {\mathbb{H}}^{d_1}$であり、${\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap S_1)\cap {\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime })={\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap S_1)\cap U\cap {\mathbb{H}}^{d_1}={\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap S_1)\cap U$、なぜなら、${\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap S_1)\subseteq {\mathbb{H}}^{d_1}$; そうでなければ、${\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime })$自身が${\mathbb{R}}^{d_1}$上でオープン（開）である。

したがって、${\varphi }_{f(p)}^{\prime }\circ f\circ {{\varphi }_p^{″}}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap S_1)}$は${\varphi }_p^{″}(p)$において$C^k$である、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）は任意のポイントにおいて$C^k$である、もしも、当該ポイントの任意のサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）が当該ポイントにおいて$C^k$である場合、という命題によって。

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参考資料

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