498: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものたち、ここで、第1のマップ（写像）のコドメイン（余域）は第2のマップ（写像）のドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）である、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックである

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものたち、ここで、第1のマップ（写像）のコドメイン（余域）は第2のマップ（写像）のドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）である、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであることの記述/証明

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話題

About: バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものの定義を知っている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）の当該ポイントを包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるという命題を認めている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものたち、ここで、第1のマップ（写像）のコドメイン（余域）は第2のマップ（写像）のドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）である、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2,M_3$、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）たち$S_1\subseteq M_1,S_2,S_2^{\prime }\subseteq M_2,S_3\subseteq M_3$、つまり、$S_2\subseteq S_2^{\prime }$は$S_2^{\prime }$のオープンサブセット（開部分集合）である、任意のポイント$p\in S_1$、以下を満たす任意のマップ（写像）たち$f_1:S_1\to S_2,f_2^{\prime }:S_2^{\prime }\to S_3$、つまり、$f_1$および$f_2^{\prime }$は$p$および$f_1(p)$においてローカルにディフェオモーフィックである、に対して、$f_2^{\prime }\circ f_1:S_1\to S_3$は$p$においてローカルにディフェオモーフィックである。

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2: 証明

$f_2^{\prime }$のドメイン（定義域）リストリクション（制限）としての$f_2:S_2\to S_3$$f_1(p)$においてローカルにディフェオモーフィックである、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）の当該ポイントを包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるという命題によって。

$f_2^{\prime }\circ f_1=f_2\circ f_1$であるので、私たちは、$f_2\circ f_1$が$p$においてローカルにディフェオモーフィックであることを証明しよう、すると、$f_2^{\prime }\circ f_1$は$p$においてローカルにディフェオモーフィックであろう。

以下を満たす$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq M_1$および$f_1(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f_1(p)}\subseteq M_2$、つまり、$f_1{|}_{U_p\cap S_1}:U_p\cap S_1\to U_{f_1(p)}\cap S_2$はディフェオモーフィズムである、がある。

以下を満たす$f_1(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f_1(p)}^{\prime }\subseteq M_2$および$f_2\circ f_1(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f_2\circ f_1(p)}\subseteq M_3$、つまり、$f_2{|}_{U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2}:U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2\to U_{f_2\circ f_1(p)}\cap S_3$はディフェオモーフィズムである、がある。

$U_{f_1(p)}\cap U_{f_1(p)}^{\prime }\subseteq M_2$は$M_2$上でオープン（開）であり、$U_{f_1(p)}\cap S_2\cap U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2$は$U_{f_1(p)}\cap S_2$上でオープン（開）である、なぜなら、$U_{f_1(p)}\cap S_2\cap U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2=U_{f_1(p)}^{\prime }\cap U_{f_1(p)}\cap S_2$、そして、同様に、$U_{f_1(p)}\cap S_2\cap U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2$は$U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2$上でオープン（開）である。

したがって、$(f_1{|}_{U_p\cap S_1}{)}^{-1}(U_{f_1(p)}\cap S_2\cap U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2)$は$U_p\cap S_1$上でオープン（開）である、したがって、$=U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1$、ここで、$U_p^{\prime }\subseteq M_1$は$M_1$のオープンサブセット（開部分集合）である。

同様に、$f_2{|}_{U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2}(U_{f_1(p)}\cap S_2\cap U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2)$は$U_{f_2\circ f_1(p)}\cap S_3$上でオープン（開）である、したがって、$=U_{f_2\circ f_1(p)}^{\prime }\cap U_{f_2\circ f_1(p)}\cap S_3$、ここで、$U_{f_2\circ f_1(p)}^{\prime }\subseteq M_3$は$M_3$のオープンサブセット（開部分集合）である。

すると、以下を満たす$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\cap U_p\subseteq M_1$および$f_2\circ f_1(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f_2\circ f_1(p)}^{\prime }\cap U_{f_2\circ f_1(p)}$、つまり、$f_2\circ f_1{|}_{U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1}:U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1\to U_{f_2\circ f_1(p)}^{\prime }\cap U_{f_2\circ f_1(p)}\cap S_3$はディフェオモーフィズムである、がある、なぜなら、$f_1{|}_{U_p\cap S_1}{|}_{U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1}:U_p^{\prime }\cap U_p\cap S_1\to U_{f_1(p)}\cap S_2\cap U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2$はディフェオモーフィックであり、$f_2{|}_{U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2}{|}_{U_{f_1(p)}\cap S_2\cap U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2}:U_{f_1(p)}\cap S_2\cap U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2\to U_{f_2\circ f_1(p)}^{\prime }\cap U_{f_2\circ f_1(p)}\cap S_3$はディフェオモーフィックである、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題および任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって、そして、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題が適用される。

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参考資料

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