バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものたち、ここで、第1のマップ（写像）のコドメイン（余域）は第2のマップ（写像）のドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）である、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであることの記述/証明
話題
About: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものの定義を知っている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）の当該ポイントを包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるという命題を認めている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものたち、ここで、第1のマップ（写像）のコドメイン（余域）は第2のマップ（写像）のドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）である、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2, M_3\)、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1 \subseteq M_1, S_2, S'_2 \subseteq M_2, S_3 \subseteq M_3\)、つまり、\(S_2 \subseteq S'_2\)は\(S'_2\)のオープンサブセット（開部分集合）である、任意のポイント\(p \in S_1\)、以下を満たす任意のマップ（写像）たち\(f_1: S_1 \to S_2, f'_2: S'_2 \to S_3\)、つまり、\(f_1\)および\(f'_2\)は\(p\)および\(f_1 (p)\)においてローカルにディフェオモーフィックである、に対して、\(f'_2 \circ f_1: S_1 \to S_3\)は\(p\)においてローカルにディフェオモーフィックである。
2: 証明
\(f'_2\)のドメイン（定義域）リストリクション（制限）としての\(f_2: S_2 \to S_3\)\(f_1 (p)\)においてローカルにディフェオモーフィックである、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）の当該ポイントを包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるという命題によって。
\(f'_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1\)であるので、私たちは、\(f_2 \circ f_1\)が\(p\)においてローカルにディフェオモーフィックであることを証明しよう、すると、\(f'_2 \circ f_1\)は\(p\)においてローカルにディフェオモーフィックであろう。
以下を満たす\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq M_1\)および\(f_1 (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f_1 (p)} \subseteq M_2\)、つまり、\(f_1 \vert_{U_p \cap S_1}: U_p \cap S_1 \to U_{f_1 (p)} \cap S_2\)はディフェオモーフィズムである、がある。
以下を満たす\(f_1 (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{f_1 (p)} \subseteq M_2\)および\(f_2 \circ f_1 (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f_2 \circ f_1 (p)} \subseteq M_3\)、つまり、\(f_2 \vert_{U'_{f_1 (p)} \cap S_2}: U'_{f_1 (p)} \cap S_2 \to U_{f_2 \circ f_1 (p)} \cap S_3\)はディフェオモーフィズムである、がある。
\(U_{f_1 (p)} \cap U'_{f_1 (p)} \subseteq M_2\)は\(M_2\)上でオープン（開）であり、\(U_{f_1 (p)} \cap S_2 \cap U'_{f_1 (p)} \cap S_2\)は\(U_{f_1 (p)} \cap S_2\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(U_{f_1 (p)} \cap S_2 \cap U'_{f_1 (p)} \cap S_2 = U'_{f_1 (p)} \cap U_{f_1 (p)} \cap S_2\)、そして、同様に、\(U_{f_1 (p)} \cap S_2 \cap U'_{f_1 (p)} \cap S_2\)は\(U'_{f_1 (p)} \cap S_2\)上でオープン（開）である。
したがって、\((f_1 \vert_{U_p \cap S_1})^{-1} (U_{f_1 (p)} \cap S_2 \cap U'_{f_1 (p)} \cap S_2)\)は\(U_p \cap S_1\)上でオープン（開）である、したがって、\(= U'_p \cap U_p \cap S_1\)、ここで、\(U'_p \subseteq M_1\)は\(M_1\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
同様に、\(f_2 \vert_{U'_{f_1 (p)} \cap S_2} (U_{f_1 (p)} \cap S_2 \cap U'_{f_1 (p)} \cap S_2)\)は\(U_{f_2 \circ f_1 (p)} \cap S_3\)上でオープン（開）である、したがって、\(= U'_{f_2 \circ f_1 (p)} \cap U_{f_2 \circ f_1 (p)} \cap S_3\)、ここで、\(U'_{f_2 \circ f_1 (p)} \subseteq M_3\)は\(M_3\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
すると、以下を満たす\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \cap U_p \subseteq M_1\)および\(f_2 \circ f_1 (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{f_2 \circ f_1 (p)} \cap U_{f_2 \circ f_1 (p)}\)、つまり、\(f_2 \circ f_1 \vert_{U'_p \cap U_p \cap S_1}: U'_p \cap U_p \cap S_1 \to U'_{f_2 \circ f_1 (p)} \cap U_{f_2 \circ f_1 (p)} \cap S_3\)はディフェオモーフィズムである、がある、なぜなら、\(f_1 \vert_{U_p \cap S_1} \vert_{U'_p \cap U_p \cap S_1}: U'_p \cap U_p \cap S_1 \to U_{f_1 (p)} \cap S_2 \cap U'_{f_1 (p)} \cap S_2\)はディフェオモーフィックであり、\(f_2 \vert_{U'_{f_1 (p)} \cap S_2} \vert_{U_{f_1 (p)} \cap S_2 \cap U'_{f_1 (p)} \cap S_2}: U_{f_1 (p)} \cap S_2 \cap U'_{f_1 (p)} \cap S_2 \to U'_{f_2 \circ f_1 (p)} \cap U_{f_2 \circ f_1 (p)} \cap S_3\)はディフェオモーフィックである、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題および任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって、そして、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題が適用される。
