541: アファインシンプレックス（単体）

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アファインシンプレックス（単体）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}$
$\ast [p_0,...,p_n]$: $=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}$
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コンディションたち:
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$[p_0,p_1,...,p_n]$はアファインnシンプレックス（単体）と呼ばれる。

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0,...,p_n\}\subseteq V$に対して、セット（集合）$[p_0,...,p_n]:=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}$

$[p_0,...,p_n]$はアファインnシンプレックス（単体）と呼ばれる。

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3: 注

それは通常$V={\mathbb{R}}^d$、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアントポロジーを持ったもの、を用いて定義されるが、本定義は、任意の一般的なリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）を用いて、より一般的な定義をなした。それらの間に致命的な違いはない、なぜなら、任意の$d$次元$V$にカノニカル（自然な）トポロジーを備えさせれば、$V$は${\mathbb{R}}^d$へホメオモーフィック（位相同形写像）であり、サブスペース（部分空間）$[p_0,...,p_n]\subseteq V$はサブスペース（部分空間）$[p_0,...,p_n]\subseteq {\mathbb{R}}^d$へホメオモーフィック（位相同形写像）である。

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参考資料

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