アファインシンプレックス（単体）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( \{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\)
\(*[p_0, ..., p_n]\): \(= \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)
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コンディションたち:
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\([p_0, p_1, ..., p_n]\)はアファインnシンプレックス（単体）と呼ばれる。
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V\)に対して、セット（集合）\([p_0, ..., p_n] := \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)
\([p_0, ..., p_n]\)はアファインnシンプレックス（単体）と呼ばれる。
3: 注
それは通常\(V = \mathbb{R}^d\)、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアントポロジーを持ったもの、を用いて定義されるが、本定義は、任意の一般的なリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）を用いて、より一般的な定義をなした。それらの間に致命的な違いはない、なぜなら、任意の\(d\)次元\(V\)にカノニカル（自然な）トポロジーを備えさせれば、\(V\)は\(\mathbb{R}^d\)へホメオモーフィック（位相同形写像）であり、サブスペース（部分空間）\([p_0, ..., p_n] \subseteq V\)はサブスペース（部分空間）\([p_0, ..., p_n] \subseteq \mathbb{R}^d\)へホメオモーフィック（位相同形写像）である。
