542: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしもベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではない

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リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしもベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではないことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）を知っている。
• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしも当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }$
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でない全てのセット（集合）たち }\}$
$S$: $=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}$
//

ステートメントたち:
以下を満たす$J\subset \{0,...,n\}$はないかもしれない
(
$\{p_j|j\in J\}\in \{V\text{ 上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）な全てのセット（集合）たち }\}$
$\wedge$
$S=\{\sum _{j\in J}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}$
)
//

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2: 自然言語記述

あるリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないあるセット（集合）$\{p_0,...,p_n\}\subseteq V$に対して、当該ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）$S:=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}$は必ずしも当該ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なあるサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではない。

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3: 証明

1つの反例で十分である。$V={\mathbb{R}}^2$、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）としよう。$\{p_0=0,p_1=e_1,p_2=e_2,p_3=e_1+e_2\}\subseteq V$、ここで、$\{e_1,e_2\}$は${\mathbb{R}}^2$に対するスタンダードユニット（単位）ベクトルたち、をベースポイントたちのセット（集合）であるとしよう。$S$はユニットスクウェア（単位正方形）であるが、当該ベースポイントたちのセット（集合）の任意のアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）（例えば、$\{p_0,p_1,p_2\}$）は当該スクウェア（正方形）をコンベックスセット（集合）としてスパンしない（張らない）（簡潔に言うと、当該スクウェア（正方形）はアファインシンプレックス（単体）でなく、したがって、どんなサブセット（部分集合）を選択しても助けにはならない）。

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参考資料

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