リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしもベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしも当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\)
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でない全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)
//
ステートメントたち:
以下を満たす\(J \subset \{0, ..., n\}\)はないかもしれない
(
\(\{p_j \vert j \in J\} \in \{V\text{ 上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）な全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\land\)
\(S = \{\sum_{j \in J} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)
)
//
2: 自然言語記述
あるリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないあるセット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V\)に対して、当該ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）\(S := \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)は必ずしも当該ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なあるサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではない。
3: 証明
1つの反例で十分である。\(V = \mathbb{R}^2\)、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）としよう。\(\{p_0 = 0, p_1 = e_1, p_2 = e_2, p_3 = e_1 + e_2\} \subseteq V\)、ここで、\(\{e_1, e_2\}\)は\(\mathbb{R}^2\)に対するスタンダードユニット（単位）ベクトルたち、をベースポイントたちのセット（集合）であるとしよう。\(S\)はユニットスクウェア（単位正方形）であるが、当該ベースポイントたちのセット（集合）の任意のアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）（例えば、\(\{p_0, p_1, p_2\}\)）は当該スクウェア（正方形）をコンベックスセット（集合）としてスパンしない（張らない）（簡潔に言うと、当該スクウェア（正方形）はアファインシンプレックス（単体）でなく、したがって、どんなサブセット（部分集合）を選択しても助けにはならない）。
