ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のアファインサブセット（部分集合）はベースポイントたちのファイナイト（有限）アファインインディペンデント（独立）セット（集合）によってスパンされる（張られる）ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の任意のアファインサブセット（部分集合）はベースポイントたちのあるファイナイト（有限）アファインインディペンデント（独立）セット（集合）によってスパンされる（張られる）という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ の全てのアファインサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \{p_0, ..., p_n\} \in \{V\text{ 上の全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\} \text{ 、ここで、 } 0 \le n \le d (S = \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1\})\).
//
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)に対して、任意のアファインサブセット（部分集合）\(S \subseteq V\)は、ある\(n\)ポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）セット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\}\)、ここで、\(0 \le n \le d\)、によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である。
3: 証明
\(\{p_0, ..., p_n\}\)によってスパンされる（張られる）アファインサブセット（部分集合）を\(A (\{p_0, ..., p_n\})\)と記そう。
\(S\)はポイントを持たない時、\(S = A (\{\})\)。
\(S\)は1ポイント\(p_0\)のみを持つ時、\(S = A (\{p_0\})\)。
\(S\)は1ポイントよりも多くを持つと仮定しよう。
任意の異なるポイントたち\(p_0, p_1 \in S\)を取ろう。
\(\{p_0, p_1\}\)はポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）である。\(A (\{p_0, p_1\}) \subseteq S\)、なぜなら、\(p = \sum_{j = 0 \sim 1} t^j p_j\)、ここで、\(\sum_{j = 0 \sim 1} t^j = 1\)、に対して、\(p = p_1 + t^0 p_0 + (t^1 - 1) p_1 = p_1 + t^0 p_0 - t^0 p_1 = p_1 + t^0 (p_0 - p_1) \in S\)。
もしも、\(A (\{p_0, p_1\}) = S\)であれば、完了である。
そうでなければ、以下を満たすあるポイント \(p_2 \in S\)、つまり、\(p_2 \notin A (\{p_0, p_1\})\)、がある。
\(\{p_0, p_1, p_2\}\)はアファインインディペンデント（独立）である、なぜなら、\(p_1 - p_0, p_2 - p_0\)たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、そうでなければ、\(p_2 - p_0\)は\(p_1 - p_0\)のスカラー倍であるということになり、それは、\(p_2 \in A (\{p_0, p_1\})\)を意味するだろう。\(A (\{p_0, p_1, p_2\}) \subseteq S\)、なぜなら、各\(p = \sum_{j = 0 \sim 2} t^j p_j\)、ここで、\(\sum_{j = 0 \sim 2} t^j = 1\)および\(p_2 \neq 1\)、それが意味するのは、\(\sum_{j = 0 \sim 1} t^j \neq 0\)、に対して、\(p = p_2 + \sum_{j = 0 \sim 1} t^j p_j + (t^2 - 1) p_2 = p_2 + \sum_{j = 0 \sim 1} t^j p_j - (\sum_{j = 0 \sim 1} t^j) p_2 = p_2 + \sum_{j = 0 \sim 1} t^j ((\sum_{j = 0 \sim 1} t^j p_j) / \sum_{j = 0 \sim 1} t^j - p_2) \in S\)、なぜなら、\((\sum_{j = 0 \sim 1} t^j p_j) / \sum_{j = 0 \sim 1} t^j \in A (\{p_0, p_1\}) \subseteq S\)、なぜなら、\(\sum_{j = 0 \sim 1} t^j / \sum_{j = 0 \sim 1} t^j = 1\); \(p_2 = 1\)である時、\(p = p_2 \in S\)。
もしも、\(A (\{p_0, p_1, p_2\}) = S\)である場合、完了である。
そうでなければ、以下を満たすあるポイント\(p_3 \in S\)、つまり、\(p_3 \notin A (\{p_0, p_1, p_2\})\)、がある。
\(\{p_0, p_1, p_2, p_3\}\)はアファインインディペンデント（独立）である、なぜなら、\(p_1 - p_0, p_2 - p_0, p_3 - p_0\)たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、そうでなければ、\(p_3 - p_0\)は\(p_1 - p_0, p_2 - p_0\)のリニア（線形）コンビネーションであることになり、それは、\(p_3 \in A (\{p_0, p_1, p_2\})\)を意味するだろう。\(A (\{p_0, p_1, p_2, p_3\}) \subseteq S\)、なぜなら、各\(p = \sum_{j = 0 \sim 3} t^j p_j\)、ここで、\(\sum_{j = 0 \sim 3} t^j = 1\)および\(p_3 \neq 1\)、それが意味するのは、\(\sum_{j = 0 \sim 2} t^j \neq 0\)、に対して、\(p = p_3 + \sum_{j = 0 \sim 2} t^j p_j + (t^3 - 1) p_3 = p_3 + \sum_{j = 0 \sim 2} t^j p_j - (\sum_{j = 0 \sim 2} t^j) p_3 = p_3 + \sum_{j = 0 \sim 2} t^j ((\sum_{j = 0 \sim 2} t^j p_j) / \sum_{j = 0 \sim 2} t^j - p_3) \in S\)、なぜなら、\((\sum_{j = 0 \sim 2} t^j p_j) / \sum_{j = 0 \sim 2} t^j \in A (\{p_0, p_1, p_2\}) \subseteq S\)、なぜなら、\(\sum_{j = 0 \sim 2} t^j / \sum_{j = 0 \sim 2} t^j = 1\); \(p_3 = 1\)である時、\(p = p_3 \in S\)。
等々と続く。
最終的には、ある\(n \le d\)に対して\(A (\{p_0, p_1, p_2, ..., p_n\}) = S\)、なぜなら、任意の\(d\)より多いベクトルたちは\(V\)上でインディペンデント（独立）ではあり得ない。
したがって、\(S\)は\(\{p_1, ..., p_n\}\)によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である。
