552: ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のアファインサブセット（部分集合）はベースポイントたちのファイナイト（有限）アファインインディペンデント（独立）セット（集合）によってスパンされる（張られる）

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ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のアファインサブセット（部分集合）はベースポイントたちのファイナイト（有限）アファインインディペンデント（独立）セット（集合）によってスパンされる（張られる）ことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のアファインサブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の任意のアファインサブセット（部分集合）はベースポイントたちのあるファイナイト（有限）アファインインディペンデント（独立）セット（集合）によってスパンされる（張られる）という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ の全てのアファインサブセット（部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }\{p_0,...,p_n\}\in \{V\text{ 上の全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\text{ 、ここで、 }0\le n\le d(S=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\})$.
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$に対して、任意のアファインサブセット（部分集合）$S\subseteq V$は、ある$n$ポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0,...,p_n\}$、ここで、$0\le n\le d$、によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である。

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3: 証明

$\{p_0,...,p_n\}$によってスパンされる（張られる）アファインサブセット（部分集合）を$A(\{p_0,...,p_n\})$と記そう。

$S$はポイントを持たない時、$S=A(\{\})$。

$S$は1ポイント$p_0$のみを持つ時、$S=A(\{p_0\})$。

$S$は1ポイントよりも多くを持つと仮定しよう。

任意の異なるポイントたち$p_0,p_1\in S$を取ろう。

$\{p_0,p_1\}$はポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）である。$A(\{p_0,p_1\})\subseteq S$、なぜなら、$p=\sum _{j=0\sim 1}{t}^j{p}_j$、ここで、$\sum _{j=0\sim 1}{t}^j=1$、に対して、$p=p_1+t^0{p}_0+(t^1-1)p_1=p_1+t^0{p}_0-t^0{p}_1=p_1+t^0(p_0-p_1)\in S$。

もしも、$A(\{p_0,p_1\})=S$であれば、完了である。

そうでなければ、以下を満たすあるポイント $p_2\in S$、つまり、$p_2\notin A(\{p_0,p_1\})$、がある。

$\{p_0,p_1,p_2\}$はアファインインディペンデント（独立）である、なぜなら、$p_1-p_0,p_2-p_0$たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、そうでなければ、$p_2-p_0$は$p_1-p_0$のスカラー倍であるということになり、それは、$p_2\in A(\{p_0,p_1\})$を意味するだろう。$A(\{p_0,p_1,p_2\})\subseteq S$、なぜなら、各$p=\sum _{j=0\sim 2}{t}^j{p}_j$、ここで、$\sum _{j=0\sim 2}{t}^j=1$および$p_2\ne 1$、それが意味するのは、$\sum _{j=0\sim 1}{t}^j\ne 0$、に対して、$p=p_2+\sum _{j=0\sim 1}{t}^j{p}_j+(t^2-1)p_2=p_2+\sum _{j=0\sim 1}{t}^j{p}_j-(\sum _{j=0\sim 1}{t}^j)p_2=p_2+\sum _{j=0\sim 1}{t}^j((\sum _{j=0\sim 1}{t}^j{p}_j)/\sum _{j=0\sim 1}{t}^j-p_2)\in S$、なぜなら、$(\sum _{j=0\sim 1}{t}^j{p}_j)/\sum _{j=0\sim 1}{t}^j\in A(\{p_0,p_1\})\subseteq S$、なぜなら、$\sum _{j=0\sim 1}{t}^j/\sum _{j=0\sim 1}{t}^j=1$; $p_2=1$である時、$p=p_2\in S$。

もしも、$A(\{p_0,p_1,p_2\})=S$である場合、完了である。

そうでなければ、以下を満たすあるポイント$p_3\in S$、つまり、$p_3\notin A(\{p_0,p_1,p_2\})$、がある。

$\{p_0,p_1,p_2,p_3\}$はアファインインディペンデント（独立）である、なぜなら、$p_1-p_0,p_2-p_0,p_3-p_0$たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、そうでなければ、$p_3-p_0$は$p_1-p_0,p_2-p_0$のリニア（線形）コンビネーションであることになり、それは、$p_3\in A(\{p_0,p_1,p_2\})$を意味するだろう。$A(\{p_0,p_1,p_2,p_3\})\subseteq S$、なぜなら、各$p=\sum _{j=0\sim 3}{t}^j{p}_j$、ここで、$\sum _{j=0\sim 3}{t}^j=1$および$p_3\ne 1$、それが意味するのは、$\sum _{j=0\sim 2}{t}^j\ne 0$、に対して、$p=p_3+\sum _{j=0\sim 2}{t}^j{p}_j+(t^3-1)p_3=p_3+\sum _{j=0\sim 2}{t}^j{p}_j-(\sum _{j=0\sim 2}{t}^j)p_3=p_3+\sum _{j=0\sim 2}{t}^j((\sum _{j=0\sim 2}{t}^j{p}_j)/\sum _{j=0\sim 2}{t}^j-p_3)\in S$、なぜなら、$(\sum _{j=0\sim 2}{t}^j{p}_j)/\sum _{j=0\sim 2}{t}^j\in A(\{p_0,p_1,p_2\})\subseteq S$、なぜなら、$\sum _{j=0\sim 2}{t}^j/\sum _{j=0\sim 2}{t}^j=1$; $p_3=1$である時、$p=p_3\in S$。

等々と続く。

最終的には、ある$n\le d$に対して$A(\{p_0,p_1,p_2,...,p_n\})=S$、なぜなら、任意の$d$より多いベクトルたちは$V$上でインディペンデント（独立）ではあり得ない。

したがって、$S$は$\{p_1,...,p_n\}$によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である。

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参考資料

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