リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それは当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{\sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{\text{ 全てのアファインシンプレックス（単体）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists \{p'_0, ..., p'_m\} \subseteq \{p_0, ..., p_n\} (\{p'_0, ..., p'_m\} \in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\} \land S = [p'_0, ..., p'_m]\)。
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、ベースポイントたち任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V\)に対して、もしも、当該ベースポイントたちの当該セット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）\(S := \{\sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)がアファインシンプレックス（単体）である時、\(S\)は当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(\{p'_0, ..., p'_m\} \subseteq \{p_0, ..., p_n\}\)によってスパンされる（張られる）、つまり、\(S = [p'_0, ..., p'_m]\)。
3: 注
本命題が述べているのは、ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされるあるコンベックスセット（集合）はアファインシンプレックスでないかもしれない（意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしも当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではないという命題を参照）が、もしも、そうである場合、それは、当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）である、ということである。
本命題は、当該ベースポイントたちの各アファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）が当該アファインシンプレックス（単体）をスパンする（張る）とは述べていいない:ある適切なサブセット（部分集合）が選ばれなければならない。例えば、\(V = \mathbb{R}^2\)および\(\{p_0, p_1, p_2\} = \{(0, 0), (1, 0), (-1, 0)\}\)である時、\(S\)はアファインシンプレックス（単体）であり、\(\{p_1, p_2\}\)は\(S\)をスパンする（張る）が、\(\{p_0, p_1\}\)は\(S\)を張らない。
4: 証明
\(V\)上の(m + 1)ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は、\(\{\sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p_j - p_0) + p_0 \in V \vert \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j \le 1 \land 0 \le u^j\}\)、ここで、\(p_0\)は当該ベースポイントたちの内の任意の1つ、として表現できることを見よう。\(\sum_{j \in \{0, ..., m\}} u^j p_j = \sum_{j \in \{0, ..., m\}} u^j (p_j - p_0) + \sum_{j \in \{0, ..., m\}} u^j p_0 = \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p_j - p_0) + p_0\)。任意の\(p_j\)を\(p_0\)の代わりに取ることができることに注意しよう。当該ベースポイントたちの当該セット（集合）がアファインインディペンデント（独立）である時は、\(\{p_1 - p_0, ..., p_m - p_0\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であり、そうでない場合、\(\{p_1 - p_0, ..., p_m - p_0\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）でない。
\(S\)はアファインシンプレックス（単体）である、それが意味するのは、\(S\)はいくつかのベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）セット（集合）\(\{p'_0, ..., p'_m\}\)によってスパンされ（張られる）、\(S = \{\sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p'_j - p'_0) + p'_0 \vert \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j \le 1 \land 0 \le u^j\}\)、ということ、と仮定しよう。 注意として、\(\{p'_0, ..., p'_m\}\)が\(\{p_0, ..., p_n\}\)のサブセット（部分集合）であるとは仮定していない。
\(p'_0 \in \{p_0, ..., p_n\}\)であることを証明しよう。
\(p'_0 \notin \{p_0, ..., p_n\}\)であったと仮定しよう。
\((0, ..., 0)\)でないある\((t^1, ..., t^n)\)に対して、\(p'_0 = \sum_{j = \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p_0) + p_0\)、なぜなら、そうでなければ、\(p'_0 = p_0\)、仮定に反する矛盾。あるポジティブ（正）の\(t_k\)があるだろう。もしも、\(\sum_{j = \in \{1, ..., n\}} t^j \lt 1\)である場合、あるインターバル（区間）\([t_k - \delta, t_k + \delta]\)、ここで、\(0 \le t_k - \delta\)および\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j + \delta \le 1\)、を取ることができるだろう、それが意味するのは、\(t^k\)を\([t_k - \delta, t_k + \delta]\)の中で動かし他の\(t^j\)を固定しておく時、対応するポイントたちは\(S\)上にあるだろう、そして、当該ポイントたちはあるラインセグメント（線分）を構成し、ラインセグメント（線分）は\(p'_0\)をそのインテリア（内部）に包含するだろう、ということ。もしも、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j = 1\)である場合は、別表現\(p'_0 = \sum_{j \in \{0, ..., n\} \setminus \{k\}} t^j (p_j - p_k) + p_k\)を考えよう、すると、\((t^0, ..., \hat{t^k}, ..., t^n)\)は\((0, ..., 0)\)でないだろう（そうでなければ、\(p'_0 = p_k\)）、そして、 \(\sum_{j \in \{0, ..., n\} \setminus {k}} t^j \lt 1\)（なぜなら、\(0 \lt t^k\)）。すると、\(p'_0\)は\(S\)に包含されるあるラインセグメント（線分）のインテリア（内部）にあるだろう。
もしも、\(p'_0\)が本当にベースポイントであれば、それは起こり得ないことを証明しよう。\(p'_0\)から任意の方向づけさへあるラインセグメント（線分）を描くためには、\(\sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p'_j - p'_0) + p'_0\)に対してある軌道\(\lambda \mapsto (u^1 (\lambda), ..., u^m (\lambda))\)を取らなければならない、ここで、\(u^j (\lambda)\)はノンネガティブ（非負）で少なくとも1つの\(u^k (\lambda)\)はポジティブ（正）へ行かなければならない（そうでなければ、各\(u^j (\lambda)\)は\(0\)に留まり、ラインセグメント（線分）を描いていないであろう）、しかし、反対方向には、軌道\(\lambda \mapsto (u^1 (\lambda), ..., u^m (\lambda))\)、ここで、\(u^k (\lambda)\)はネガティブ（負）に行く必要がある、を取る必要があるが、それは不可能である。
したがって、\(p'_0 \notin \{p_0, ..., p_n\}\)と仮定することは矛盾に至るので、\(p'_0 \in \{p_0, ..., p_n\}\)である。
したがって、ある\(k \in \{0, ..., n\}\)に対して\(p'_0 = p_k\)である、しかし、私たちは、\(p'_0 = p_0\)であると、単に表現上の便宜のために仮定しよう: \(\{p_0, ..., p_n\}\)はインデックスを付け替えられたと考えよう。
したがって、\(S = \{\sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p'_j - p_0) + p_0 \in V \vert u^j \in \mathbb{R}, \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j \le 1 \land 0 \le u^j\}\)。
\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p_0) + p_0 = \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p'_j - p_0) + p_0\)、それが意味するのは、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p_0) = \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p'_j - p_0)\)。
\(t^j = 1\)と取ると（不可避に\(k \neq j\)に対して\(t^k = 0\)）、\(p_j - p_0 = \sum_{l \in \{1, ..., m\}} s_j^l (p'_l - p_0)\)、ここで、\(0 \le s_j^l\)および\(\sum_{l \in \{1, ..., m\}} s_j^l \le 1\)。したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p_0) = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (\sum_{l \in \{1, ..., m\}} s_j^l (p'_l - p_0)) = \sum_{l \in \{1, ..., m\}} \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j s_j^l (p'_l - p_0))\)。\(\{p'_1 - p_0, ..., p'_m - p_0\}\)はリニア（線分）にインディペンデント（連続）であるから、\(u^l = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j s_j^l)\)。\(s_k^l\)が\(\{s_1^l, ..., s_n^l\}\)の最大のものたちの1つであると仮定しよう。\((t^1, ..., t^n)\)が動き回るとき、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j s_j^l)\)の最大は\(t^k = 1\)において実現される\(s_k^l\)である。この最大\(s_k^l\)は\(1\)でなければならない、そして、それは、\(o \neq l\)に対して\(s_k^o = 0\)を意味する。したがって、\(p_k - p_0 = \sum_{q \in \{1, ..., m\}} s_k^q (p'_q - p_0) = p'_l - p_0\)である。
したがって、各\(l \in \{1, ..., m\}\)に対して、ある\(k \in \{0, ..., n\}\)に対して\(p'_l - p_0 = p_k - p_0\)、それが意味するのは、\(p'_l = p_k\)。\(\{p'_1 - p_0, ..., p'_m - p_0\}\)はリニア（線分）にインディペンデント（独立）であるので、\(k\)たちは\(l\)たちに対して別のものになる。したがって、\(\{p'_0, ..., p'_m\} \subseteq \{p_0, ..., p_n\}\)である。
誤解されないように念を入れて述べると（これは、"注"で述べられたことである）、\(\{p'_0, ..., p'_m\}\)の選択は恣意的ではない: 当該証明はある\(\{p'_0, ..., p'_m\}\)を選択的に選んだ。
