553: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）

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リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）ことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それは当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）たち }\}$
$S$: $=\{\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$S\in \{\text{ 全てのアファインシンプレックス（単体）たち }\}$
$⟹$
$\mathrm{\exists }\{p_0^{\prime },...,p_m^{\prime }\}\subseteq \{p_0,...,p_n\}(\{p_0^{\prime },...,p_m^{\prime }\}\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\wedge S=[p_0^{\prime },...,p_m^{\prime }]$。
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、ベースポイントたち任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）$\{p_0,...,p_n\}\subseteq V$に対して、もしも、当該ベースポイントたちの当該セット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）$S:=\{\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}$がアファインシンプレックス（単体）である時、$S$は当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）$\{p_0^{\prime },...,p_m^{\prime }\}\subseteq \{p_0,...,p_n\}$によってスパンされる（張られる）、つまり、$S=[p_0^{\prime },...,p_m^{\prime }]$。

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3: 注

本命題が述べているのは、ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされるあるコンベックスセット（集合）はアファインシンプレックスでないかもしれない（意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしも当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではないという命題を参照）が、もしも、そうである場合、それは、当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）である、ということである。

本命題は、当該ベースポイントたちの各アファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）が当該アファインシンプレックス（単体）をスパンする（張る）とは述べていいない:ある適切なサブセット（部分集合）が選ばれなければならない。例えば、$V={\mathbb{R}}^2$および$\{p_0,p_1,p_2\}=\{(0,0),(1,0),(-1,0)\}$である時、$S$はアファインシンプレックス（単体）であり、$\{p_1,p_2\}$は$S$をスパンする（張る）が、$\{p_0,p_1\}$は$S$を張らない。

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4: 証明

$V$上の(m + 1)ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は、$\{\sum _{j\in \{1,...,m\}}{u}^j(p_j-p_0)+p_0\in V|\sum _{j\in \{1,...,m\}}{u}^j\le 1\wedge 0\le u^j\}$、ここで、$p_0$は当該ベースポイントたちの内の任意の1つ、として表現できることを見よう。$\sum _{j\in \{0,...,m\}}{u}^j{p}_j=\sum _{j\in \{0,...,m\}}{u}^j(p_j-p_0)+\sum _{j\in \{0,...,m\}}{u}^j{p}_0=\sum _{j\in \{1,...,m\}}{u}^j(p_j-p_0)+p_0$。任意の$p_j$を$p_0$の代わりに取ることができることに注意しよう。当該ベースポイントたちの当該セット（集合）がアファインインディペンデント（独立）である時は、$\{p_1-p_0,...,p_m-p_0\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であり、そうでない場合、$\{p_1-p_0,...,p_m-p_0\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）でない。

$S$はアファインシンプレックス（単体）である、それが意味するのは、$S$はいくつかのベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0^{\prime },...,p_m^{\prime }\}$によってスパンされ（張られる）、$S=\{\sum _{j\in \{1,...,m\}}{u}^j(p_j^{\prime }-p_0^{\prime })+p_0^{\prime }|\sum _{j\in \{1,...,m\}}{u}^j\le 1\wedge 0\le u^j\}$、ということ、と仮定しよう。 注意として、$\{p_0^{\prime },...,p_m^{\prime }\}$が$\{p_0,...,p_n\}$のサブセット（部分集合）であるとは仮定していない。

$p_0^{\prime }\in \{p_0,...,p_n\}$であることを証明しよう。

$p_0^{\prime }\notin \{p_0,...,p_n\}$であったと仮定しよう。

$(0,...,0)$でないある$(t^1,...,t^n)$に対して、$p_0^{\prime }=\sum _{j=\in \{1,...,n\}}{t}^j(p_j-p_0)+p_0$、なぜなら、そうでなければ、$p_0^{\prime }=p_0$、仮定に反する矛盾。あるポジティブ（正）の$t_k$があるだろう。もしも、$\sum _{j=\in \{1,...,n\}}{t}^j<1$である場合、あるインターバル（区間）$[t_k-\delta ,t_k+\delta ]$、ここで、$0\le t_k-\delta$および$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j+\delta \le 1$、を取ることができるだろう、それが意味するのは、$t^k$を$[t_k-\delta ,t_k+\delta ]$の中で動かし他の$t^j$を固定しておく時、対応するポイントたちは$S$上にあるだろう、そして、当該ポイントたちはあるラインセグメント（線分）を構成し、ラインセグメント（線分）は$p_0^{\prime }$をそのインテリア（内部）に包含するだろう、ということ。もしも、$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j=1$である場合は、別表現$p_0^{\prime }=\sum _{j\in \{0,...,n\}\setminus \{k\}}{t}^j(p_j-p_k)+p_k$を考えよう、すると、$(t^0,...,\widehat{t^k},...,t^n)$は$(0,...,0)$でないだろう（そうでなければ、$p_0^{\prime }=p_k$）、そして、 $\sum _{j\in \{0,...,n\}\setminus k}{t}^j<1$（なぜなら、$0<t^k$）。すると、$p_0^{\prime }$は$S$に包含されるあるラインセグメント（線分）のインテリア（内部）にあるだろう。

もしも、$p_0^{\prime }$が本当にベースポイントであれば、それは起こり得ないことを証明しよう。$p_0^{\prime }$から任意の方向づけさへあるラインセグメント（線分）を描くためには、$\sum _{j\in \{1,...,m\}}{u}^j(p_j^{\prime }-p_0^{\prime })+p_0^{\prime }$に対してある軌道$\lambda \mapsto (u^1(\lambda ),...,u^m(\lambda ))$を取らなければならない、ここで、$u^j(\lambda )$はノンネガティブ（非負）で少なくとも1つの$u^k(\lambda )$はポジティブ（正）へ行かなければならない（そうでなければ、各$u^j(\lambda )$は$0$に留まり、ラインセグメント（線分）を描いていないであろう）、しかし、反対方向には、軌道$\lambda \mapsto (u^1(\lambda ),...,u^m(\lambda ))$、ここで、$u^k(\lambda )$はネガティブ（負）に行く必要がある、を取る必要があるが、それは不可能である。

したがって、$p_0^{\prime }\notin \{p_0,...,p_n\}$と仮定することは矛盾に至るので、$p_0^{\prime }\in \{p_0,...,p_n\}$である。

したがって、ある$k\in \{0,...,n\}$に対して$p_0^{\prime }=p_k$である、しかし、私たちは、$p_0^{\prime }=p_0$であると、単に表現上の便宜のために仮定しよう: $\{p_0,...,p_n\}$はインデックスを付け替えられたと考えよう。

したがって、$S=\{\sum _{j\in \{1,...,m\}}{u}^j(p_j^{\prime }-p_0)+p_0\in V|u^j\in \mathbb{R},\sum _{j\in \{1,...,m\}}{u}^j\le 1\wedge 0\le u^j\}$。

$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j(p_j-p_0)+p_0=\sum _{j\in \{1,...,m\}}{u}^j(p_j^{\prime }-p_0)+p_0$、それが意味するのは、$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j(p_j-p_0)=\sum _{j\in \{1,...,m\}}{u}^j(p_j^{\prime }-p_0)$。

$t^j=1$と取ると（不可避に$k\ne j$に対して$t^k=0$）、$p_j-p_0=\sum _{l\in \{1,...,m\}}{s}_j^l(p_l^{\prime }-p_0)$、ここで、$0\le s_j^l$および$\sum _{l\in \{1,...,m\}}{s}_j^l\le 1$。したがって、$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j(p_j-p_0)=\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j(\sum _{l\in \{1,...,m\}}{s}_j^l(p_l^{\prime }-p_0))=\sum _{l\in \{1,...,m\}}\sum _{j\in \{1,...,n\}}(t^j{s}_j^l(p_l^{\prime }-p_0))$。$\{p_1^{\prime }-p_0,...,p_m^{\prime }-p_0\}$はリニア（線分）にインディペンデント（連続）であるから、$u^l=\sum _{j\in \{1,...,n\}}(t^j{s}_j^l)$。$s_k^l$が$\{s_1^l,...,s_n^l\}$の最大のものたちの1つであると仮定しよう。$(t^1,...,t^n)$が動き回るとき、$\sum _{j\in \{1,...,n\}}(t^j{s}_j^l)$の最大は$t^k=1$において実現される$s_k^l$である。この最大$s_k^l$は$1$でなければならない、そして、それは、$o\ne l$に対して$s_k^o=0$を意味する。したがって、$p_k-p_0=\sum _{q\in \{1,...,m\}}{s}_k^q(p_q^{\prime }-p_0)=p_l^{\prime }-p_0$である。

したがって、各$l\in \{1,...,m\}$に対して、ある$k\in \{0,...,n\}$に対して$p_l^{\prime }-p_0=p_k-p_0$、それが意味するのは、$p_l^{\prime }=p_k$。$\{p_1^{\prime }-p_0,...,p_m^{\prime }-p_0\}$はリニア（線分）にインディペンデント（独立）であるので、$k$たちは$l$たちに対して別のものになる。したがって、$\{p_0^{\prime },...,p_m^{\prime }\}\subseteq \{p_0,...,p_n\}$である。

誤解されないように念を入れて述べると（これは、"注"で述べられたことである）、$\{p_0^{\prime },...,p_m^{\prime }\}$の選択は恣意的ではない: 当該証明はある$\{p_0^{\prime },...,p_m^{\prime }\}$を選択的に選んだ。

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参考資料

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