インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものは、必ずしもサブセット（部分集合）に属さないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるインフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびあるサブセット（部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のあるポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）が当該サブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものは、必ずしも当該サブセット（部分集合）に属さないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(A\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインフィニット（無限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_\alpha \vert \alpha \in A\}\): \(T_\alpha \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(= \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)でプロダクトトポロジーを持つもの
\(S\): \(\subseteq T\)
\(p\): \(\in T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall J \subset A, J \in \{\text{ 全てのインデックスセット（集合）たち }\} (\pi_{J} (p) \in \pi_{J} (S))\)は、必ずしも\(p \in S\)を含意しない、ここで、\(\pi_{J}: T \to \times_{j \in J} T_j\)はプロジェクション（射影）である。
//
2: 自然言語記述
任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインフィニット（無限）インデックスセット（写像）\(A\)、任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(\{T_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、プロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T := \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)、任意の\(S \subseteq T\)、任意の\(p \in T\)に対して、各\(J \subset A\)に対して\(\pi_{J} (p) \in \pi_{J} (S)\)、ここで、\(J\)はファイナイト（有限）インデックスセット（集合）で\(\pi_{J}: T \to \times_{j \in J} T_j\)はプロジェクション（射影）、は、必ずしも\(p \in S\)を含意しない。
3: 注1
ある典型的なケースは、\(T = T_1 \times T_2 \times ...\)、インフィニット（無限）にカウンタブル（可算）なプロダクト、で、各\(k\)に対して\(\pi_{J} (p) \in \pi_{J} (S)\)、ここで、\(J = \{1, ..., k\}\)、は、\(p \in S\)を含意しない。
4: 証明
1つの反例で十分である。
各\(T_\alpha\)は少なくとも2ポイントたち\(p_{\alpha, 1}, p_{\alpha, 2} \in T_\alpha\)を持ち、\(S = T \setminus \times_{\alpha \in A} \{p_{\alpha, 1}\}\)、\(p\)の各\(\alpha\)コンポーネントは\(p_{\alpha, 1}\)であるとしよう。
\(p \in T\)。各\(J\)に対して\(\pi_{J} (p) \in \pi_{J} (S)\)、なぜなら、\(S\)は少なくとも1ポイント\(p'\)、その\(J\)コンポーネントたちは\(p_{j, 1}\)たちである（\(j \in J\)）、しかし、その\(\alpha\)コンポーネントは\(p_{\alpha, 2}\)である、ここで、\(\alpha \notin J\)、がある; \(p' \in S\)、なぜなら、\(p_{\alpha, 2} \notin \{p_{\alpha, 1}\}\)。
しかし、\(p \notin S\)、なぜなら、\(p \in \times_{\alpha \in A} \{p_{\alpha, 1}\}\)。
\(A\)をカウンタブル（可算）にしても救われない。\(A = \{1, 2, ...\}\)、各\(T_j\)は少なくとも2ポイントたち\(p_{j, 1}, p_{j, 2} \in T_j\)を持つ、\(S = T \setminus (\{p_{1, 1}\} \times \{p_{2, 1}\} \times ...)\)、\(p\)は\((p_{1, 1}, p_{2, 1}, ...)\)である、としよう。
\(p \in T\)。各\(J\)に対して、\(\pi_{J} (p) \in \pi_{J} (S))\)、なぜなら、例えば、\(J = \{2, 4\}\)の時、\((p_{2, 2}, p_{2, 1}, p_{3, 1}, p_{4, 1}, ...), (p_{1, 1}, p_{2, 1}, p_{3, 2}, p_{4, 1}, ...), ... \in S\)、その一方で、\(\pi_{J} (p) = \pi_{J} ((p_{2, 2}, p_{2, 1}, p_{3, 1}, p_{4, 1}, ...))) = (p_{2, 1}, p_{4, 1})\)。
しかし、\(p \notin S\)、なぜなら、\(p \in \{p_{1, 1}\} \times \{p_{2, 1}\} \times ...\)。
5: 注2
\(S \subseteq T\)がクローズド（閉）である時は、\(p \in S\)が含意されている、別の記述にて証明されているとおり。
