527: インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものは、必ずしもサブセット（部分集合）に属さない

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インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものは、必ずしもサブセット（部分集合）に属さないことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注1
• 4: 証明
• 5: 注2

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、あるインフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびあるサブセット（部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のあるポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）が当該サブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものは、必ずしも当該サブセット（部分集合）に属さないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$A$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインフィニット（無限）インデックスセット（集合）たち }\}$
$\{T_{\alpha }|\alpha \in A\}$: $T_{\alpha }\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T$: $={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$でプロダクトトポロジーを持つもの
$S$: $\subseteq T$
$p$: $\in T$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }J\subset A,J\in \{\text{ 全てのインデックスセット（集合）たち }\}({\pi }_J(p)\in {\pi }_J(S))$は、必ずしも$p\in S$を含意しない、ここで、${\pi }_J:T\to {\times }_{j\in J}{T}_j$はプロジェクション（射影）である。
//

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2: 自然言語記述

任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインフィニット（無限）インデックスセット（写像）$A$、任意のトポロジカルスペース（空間）たち$\{T_{\alpha }|\alpha \in A\}$、プロダクトトポロジカルスペース（空間）$T:={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$、任意の$S\subseteq T$、任意の$p\in T$に対して、各$J\subset A$に対して${\pi }_J(p)\in {\pi }_J(S)$、ここで、$J$はファイナイト（有限）インデックスセット（集合）で${\pi }_J:T\to {\times }_{j\in J}{T}_j$はプロジェクション（射影）、は、必ずしも$p\in S$を含意しない。

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3: 注1

ある典型的なケースは、$T=T_1\times T_2\times ...$、インフィニット（無限）にカウンタブル（可算）なプロダクト、で、各$k$に対して${\pi }_J(p)\in {\pi }_J(S)$、ここで、$J=\{1,...,k\}$、は、$p\in S$を含意しない。

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4: 証明

1つの反例で十分である。

各$T_{\alpha }$は少なくとも2ポイントたち$p_{\alpha ,1},p_{\alpha ,2}\in T_{\alpha }$を持ち、$S=T\setminus {\times }_{\alpha \in A}\{p_{\alpha ,1}\}$、$p$の各$\alpha$コンポーネントは$p_{\alpha ,1}$であるとしよう。

$p\in T$。各$J$に対して${\pi }_J(p)\in {\pi }_J(S)$、なぜなら、$S$は少なくとも1ポイント$p^{\prime }$、その$J$コンポーネントたちは$p_{j,1}$たちである（$j\in J$）、しかし、その$\alpha$コンポーネントは$p_{\alpha ,2}$である、ここで、$\alpha \notin J$、がある; $p^{\prime }\in S$、なぜなら、$p_{\alpha ,2}\notin \{p_{\alpha ,1}\}$。

しかし、$p\notin S$、なぜなら、$p\in {\times }_{\alpha \in A}\{p_{\alpha ,1}\}$。

$A$をカウンタブル（可算）にしても救われない。$A=\{1,2,...\}$、各$T_j$は少なくとも2ポイントたち$p_{j,1},p_{j,2}\in T_j$を持つ、$S=T\setminus (\{p_{1,1}\}\times \{p_{2,1}\}\times ...)$、$p$は$(p_{1,1},p_{2,1},...)$である、としよう。

$p\in T$。各$J$に対して、${\pi }_J(p)\in {\pi }_J(S))$、なぜなら、例えば、$J=\{2,4\}$の時、$(p_{2,2},p_{2,1},p_{3,1},p_{4,1},...),(p_{1,1},p_{2,1},p_{3,2},p_{4,1},...),...\in S$、その一方で、${\pi }_J(p)={\pi }_J((p_{2,2},p_{2,1},p_{3,1},p_{4,1},...)))=(p_{2,1},p_{4,1})$。

しかし、$p\notin S$、なぜなら、$p\in \{p_{1,1}\}\times \{p_{2,1}\}\times ...$。

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5: 注2

$S\subseteq T$がクローズド（閉）である時は、$p\in S$が含意されている、別の記述にて証明されているとおり。

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参考資料

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