レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(S_1 \to S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f^{-1} (f (S_1)) = S_1\).
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)に対して、\(f^{-1} (f (S_1)) = S_1\)。
3: 証明
明らかに、\(f^{-1} (f (S_1)) \subseteq S_1\)。
任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、それが引数セット（集合）に包含されている場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(f^{-1} (f (S_1)) = S_1\)。
