526: レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体である

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レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、それが引数セット（集合）に包含されている場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S_1$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S_2$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$f$: $S_1\to S_2$
//

ステートメント（言明）たち:
$f^{-1}(f(S_1))=S_1$.
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$に対して、$f^{-1}(f(S_1))=S_1$。

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3: 証明

明らかに、$f^{-1}(f(S_1))\subseteq S_1$。

任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、それが引数セット（集合）に包含されている場合、そしてその場合に限って、という命題によって、$f^{-1}(f(S_1))=S_1$。

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参考資料

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