528: インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびクローズドサブセット（閉部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものはサブセット（部分集合）に属する

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インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびクローズドサブセット（閉部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものはサブセット（部分集合）に属することの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注1
• 4: 証明
• 5: 注2

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のインフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のクローズドサブセット（閉部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）が当該サブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものは当該サブセット（部分集合）に属するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$A$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインフィニット（無限）インデックスセット（集合）たち }\}$
$\{T_{\alpha }|\alpha \in A\}$: $T_{\alpha }\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T$: $={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$でプロダクトトポロジーを持つもの
$C$: $\subseteq T$, $\in \{\text{ 全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}$
$p$: $\in T$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }J\subset A,J\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}({\pi }_J(p)\in {\pi }_J(C))$、ここで、${\pi }_J:T\to {\times }_{j\in J}{T}_j$はプロジェクション（射影）
$⟹$
$p\in C$
//

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2: 自然言語記述

任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインフィニット（無限）インデックスセット（集合）$A$、任意のトポロジカルスペース（空間）たち$\{T_{\alpha }|\alpha \in A\}$、プロダクトトポロジカルスペース（空間）$T:={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$、任意のクローズド（閉）$C\subseteq T$、任意の$p\in T$に対して、各$J\subset A$に対して${\pi }_J(p)\in {\pi }_J(C)$、ここで、$J$はファイナイト（有限）インデックスセット（集合）で${\pi }_J:T\to {\times }_{j\in J}{T}_j$はプロジェクション（射影）、は、$p\in C$を含意する。

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3: 注1

ある典型的なケースは、$T=T_1\times T_2\times ...$、インフィニット（無限）にカウンタブル（可算）プロダクト、で、${\pi }_J(p)\in {\pi }_J(C)$、ここで、各$k$に対して$J=\{1,...,k\}$、は、$p\in C$を含意する: そうした$J$たちに対する要求は、各$J^{\prime }\subseteq J$に対する要求を含意する、したがって、各ファイナイト（有限）$J^{\prime }\subseteq A$に対する要求を含意する。

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4: 証明

各$J$に対して${\pi }_J(p)\in {\pi }_J(C)$であると仮定しよう。

$T\setminus C\subseteq T$はオープン（開）である。

$p\notin C$であると仮定しよう。

$p\in T\setminus C$。$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T\setminus C$があることになる。$U_p={\cup }_{\beta \in B}{\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta ,\alpha }$、ここで、$B$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）で$U_{\beta ,\alpha }\subseteq T_{\alpha }$はオープン（開）で、各$\beta$に対して$U_{\beta ,\alpha }$たちのファイナイト（有限）数のものたちだけが$T_{\alpha }$たちでないことにある（プロダクトトポロジーの定義の"注"を参照）。

以下を満たす$\beta$、つまり、$p\in {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta ,\alpha }\subseteq T\setminus C$、があることになる。$U_{\beta ,\alpha }$たちのファイナイト（有限）数のものたちだけが$T_{\alpha }$たちでないことになるので、$J$をそれらファイナイト（有限）コンポーネントたちのものにしよう。${\pi }_J(p)\in {\pi }_J({\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta ,\alpha })={\times }_{j\in J}{U}_{\beta ,j}$。すると、以下を満たすある$p^{\prime }\in C$、つまり、${\pi }_J(p^{\prime })={\pi }_J(p)\in {\times }_{j\in J}{U}_{\beta ,j}$、があることになる。しかし、$p^{\prime }\in {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta ,\alpha }$、なぜなら、各$\alpha \notin J$に対して$U_{\beta ,\alpha }=T_{\alpha }$、したがって、$p^{\prime \alpha }\in U_{\beta ,\alpha }$、$\alpha \in J$である時も$\alpha \in A\setminus J$である時も。

したがって、$p^{\prime }\in {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta ,\alpha }\subseteq {\cup }_{\beta \in B}{\times }_{\alpha \in A}{U}_{\beta ,\alpha }=U_p\subseteq T\setminus C$、それが意味するのは、$p^{\prime }\notin C$、矛盾。

したがって、$p\in C$。

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5: 注2

$C\subseteq T$がクローズド（閉）でない時は、$p\in C$は必ずしも含意されていない、別の記事に証明されているとおり。

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参考資料

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