インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびクローズドサブセット（閉部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものはサブセット（部分集合）に属することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のクローズドサブセット（閉部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）が当該サブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものは当該サブセット（部分集合）に属するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(A\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインフィニット（無限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_\alpha \vert \alpha \in A\}\): \(T_\alpha \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(= \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)でプロダクトトポロジーを持つもの
\(C\): \(\subseteq T\), \(\in \{\text{ 全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
\(p\): \(\in T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall J \subset A, J \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\} (\pi_{J} (p) \in \pi_{J} (C))\)、ここで、\(\pi_{J}: T \to \times_{j \in J} T_j\)はプロジェクション（射影）
\(\implies\)
\(p \in C\)
//
2: 自然言語記述
任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインフィニット（無限）インデックスセット（集合）\(A\)、任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(\{T_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、プロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T := \times_{\alpha \in A} T_\alpha\)、任意のクローズド（閉）\(C \subseteq T\)、任意の\(p \in T\)に対して、各\(J \subset A\)に対して\(\pi_{J} (p) \in \pi_{J} (C)\)、ここで、\(J\)はファイナイト（有限）インデックスセット（集合）で\(\pi_{J}: T \to \times_{j \in J} T_j\)はプロジェクション（射影）、は、\(p \in C\)を含意する。
3: 注1
ある典型的なケースは、\(T = T_1 \times T_2 \times ...\)、インフィニット（無限）にカウンタブル（可算）プロダクト、で、\(\pi_{J} (p) \in \pi_{J} (C)\)、ここで、各\(k\)に対して\(J = \{1, ..., k\}\)、は、\(p \in C\)を含意する: そうした\(J\)たちに対する要求は、各\(J' \subseteq J\)に対する要求を含意する、したがって、各ファイナイト（有限）\(J' \subseteq A\)に対する要求を含意する。
4: 証明
各\(J\)に対して\(\pi_{J} (p) \in \pi_{J} (C)\)であると仮定しよう。
\(T \setminus C \subseteq T\)はオープン（開）である。
\(p \notin C\)であると仮定しよう。
\(p \in T \setminus C\)。\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T \setminus C\)があることになる。\(U_p = \cup_{\beta \in B} \times_{\alpha \in A} U_{\beta, \alpha}\)、ここで、\(B\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）で\(U_{\beta, \alpha} \subseteq T_\alpha\)はオープン（開）で、各\(\beta\)に対して\(U_{\beta, \alpha}\)たちのファイナイト（有限）数のものたちだけが\(T_\alpha\)たちでないことにある（プロダクトトポロジーの定義の"注"を参照）。
以下を満たす\(\beta\)、つまり、\(p \in \times_{\alpha \in A} U_{\beta, \alpha} \subseteq T \setminus C\)、があることになる。\(U_{\beta, \alpha}\)たちのファイナイト（有限）数のものたちだけが\(T_\alpha\)たちでないことになるので、\(J\)をそれらファイナイト（有限）コンポーネントたちのものにしよう。\(\pi_J (p) \in \pi_J (\times_{\alpha \in A} U_{\beta, \alpha}) = \times_{j \in J} U_{\beta, j}\)。すると、以下を満たすある\(p' \in C\)、つまり、\(\pi_J (p') = \pi_J (p) \in \times_{j \in J} U_{\beta, j}\)、があることになる。しかし、\(p' \in \times_{\alpha \in A} U_{\beta, \alpha}\)、なぜなら、各\(\alpha \notin J\)に対して\(U_{\beta, \alpha} = T_\alpha\)、したがって、\(p'^\alpha \in U_{\beta, \alpha}\)、\(\alpha \in J\)である時も\(\alpha \in A \setminus J\)である時も。
したがって、\(p' \in \times_{\alpha \in A} U_{\beta, \alpha} \subseteq \cup_{\beta \in B} \times_{\alpha \in A} U_{\beta, \alpha} = U_p \subseteq T \setminus C\)、それが意味するのは、\(p' \notin C\)、矛盾。
したがって、\(p \in C\)。
5: 注2
\(C \subseteq T\)がクローズド（閉）でない時は、\(p \in C\)は必ずしも含意されていない、別の記事に証明されているとおり。
