555: シンプリシャルコンプレックス

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シンプリシャルコンプレックスの定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\ast C$: $=\{S_{\alpha }|\alpha \in A,S_{\alpha }\in \{V\text{ 上の全てのアファインシンプレックス（単体）たち }\}\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）
//

コンディションたち:
1) $\mathrm{\forall }{S}_{\alpha }\in C(\mathrm{\forall }{S}_j\in \{S_{\alpha }\text{ の全てのフェイスたち }\}(S_j\in C))$
$\wedge$
2) $\mathrm{\forall }{S}_{\alpha },S_{\beta }\in C\text{ で以下を満たすもの }{S}_{\alpha }\cap S_{\beta }\ne \mathrm{\varnothing }(S_{\alpha }\cap S_{\beta }\in \{S_{\alpha }\text{ の全てのフェイスたち }\}\cap \{S_{\beta }\text{ の全てのフェイスたち }\})$
//

$V$がファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）である時（当定義は、不必要な仮定を強要しないために、そう仮定しないが、通常は、$V$はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）であると仮定される）、$|C|:={\cup }_{S_{\alpha }\in C}{S}_{\alpha }\subseteq V$で、$V$のカノニカルトポロジーのサブスペース（部分空間）トポロジーを持ったものは$C$のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）と呼ばれる。

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$に対して、以下を満たす$V$上のシンプレックス（単体）たちの任意のセット（集合）$C=\{S_{\alpha }|\alpha \in A,S_{\alpha }\in \{V\text{ 上の全てのアファインシンプレックス（単体）たち }\}\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、つまり、1) $\mathrm{\forall }{S}_{\alpha }\in C(\mathrm{\forall }{S}_j\in \{S_{\alpha }\text{ の全てのフェイスたち }\}(S_j\in C))$ and 2) $\mathrm{\forall }{S}_{\alpha },S_{\beta }\in C\text{ で以下を満たすもの }{S}_{\alpha }\cap S_{\beta }\ne \mathrm{\varnothing }(S_{\alpha }\cap S_{\beta }\in \{S_{\alpha }\text{ の全てのフェイスたち }\}\cap \{S_{\beta }\text{ の全てのフェイスたち }\})$

$V$がファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）である時（当定義は、不必要な仮定を強要しないために、そう仮定しないが、通常は、$V$はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）であると仮定される）、$|C|:={\cup }_{S_{\alpha }\in C}{S}_{\alpha }\subseteq V$で、$V$のカノニカルトポロジーのサブスペース（部分空間）トポロジーを持ったものは$C$のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）と呼ばれる。

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3: 注

$A$がファイナイト（有限）である時、$C$はファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスと呼ばれる。

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参考資料

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