591: ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクト

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクトの定義

---

話題

About: ストラクチャー（構造）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、ストラクチャー（構造）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクトの定義を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\{S_{\alpha }\}$: $S_{\alpha }\in \{\text{ 全てのストラクチャーたち }\}$で、オペレーションたちの任意の共通コレクションを持ったもの、ここで、$\alpha \in A$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット
$\ast {\times }_{\alpha }{S}_{\alpha }$: $=\text{ 当該プロダクトセット }$で、オペレーションたちの当該コレクションを持ったもの
//

コンディションたち:
各オペレーションに対して、プロダクトたちへのオペレーションはオペレーションたちのプロダクトである
//

---

2: 自然言語記述

任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のストラクチャーたちでオペレーションたちの任意の共通コレクションを持ったもの$\{S_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$アンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット、に対して、当該プロダクトセット$\ast {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$で、以下を満たすオペレーションたちの当該コレクション、つまり、任意のオペレーションに対して、プロダクトたちへのオペレーションはオペレーションたちのプロダクトである

---

3: 注

"記述"は、一般的であろうとしているために分かりにくいかもしれないが、ストラクチャーたちは、例えば、いくつかのグループたちであり、それらは共通のマルチプリケーションオペレーションを持ち（もちろん、各グループの各オペレーションは他のグループたちのオペレーションたちとは違うが、オペレーションたちは同じ種類のものたちであり、それが、私たちが意味していることである）、${\times }_{\alpha }{p}_{\alpha }{\times }_{\alpha }{p}_{\alpha }^{\prime }={\times }_{\alpha }{p}_{\alpha }{p}_{\alpha }^{\prime }$で、当該プロダクトはグループである。

$S_{\alpha }$がフィールド（体）としての$\mathbb{R}$である時は、オペレーションたちのコレクションは$+,\ast$からなり、$A$がファイナイト（有限）である時は、それは、$(p_1,...,p_n)\ast (p_1^{\prime },...,p_n^{\prime })+(p_1^{″},...,p_n^{″})=(p_1\ast p_1^{\prime }+p_1^{″},...,p_n\ast p_n^{\prime }+p_n^{″})$のようになる。

'モジュール（加群）たちのダイレクトサム'と比べてみよう、それは、モジュール（加群）たちだけに対して定義され、$\{p_{\alpha }|\alpha \in A\}$の内のファイナイト（有限）数のものだけが$0$でないという条件を課す。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>