ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクトの定義
話題
About: ストラクチャー（構造）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ストラクチャー（構造）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクトの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \{S_\alpha\}\): \(S_\alpha \in \{\text{ 全てのストラクチャーたち }\}\)で、オペレーションたちの任意の共通コレクションを持ったもの、ここで、\(\alpha \in A\)、ここで、\(A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット
\(*\times_{\alpha} S_\alpha\): \(= \text{ 当該プロダクトセット }\)で、オペレーションたちの当該コレクションを持ったもの
//
コンディションたち:
各オペレーションに対して、プロダクトたちへのオペレーションはオペレーションたちのプロダクトである
//
2: 自然言語記述
任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のストラクチャーたちでオペレーションたちの任意の共通コレクションを持ったもの\(\{S_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)アンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット、に対して、当該プロダクトセット\(*\times_{\alpha \in A} S_\alpha\)で、以下を満たすオペレーションたちの当該コレクション、つまり、任意のオペレーションに対して、プロダクトたちへのオペレーションはオペレーションたちのプロダクトである
3: 注
"記述"は、一般的であろうとしているために分かりにくいかもしれないが、ストラクチャーたちは、例えば、いくつかのグループたちであり、それらは共通のマルチプリケーションオペレーションを持ち（もちろん、各グループの各オペレーションは他のグループたちのオペレーションたちとは違うが、オペレーションたちは同じ種類のものたちであり、それが、私たちが意味していることである）、\(\times_{\alpha} p_\alpha \times_{\alpha} p'_\alpha = \times_{\alpha} p_\alpha p'_\alpha\)で、当該プロダクトはグループである。
\(S_\alpha\)がフィールド（体）としての\(\mathbb{R}\)である時は、オペレーションたちのコレクションは\(+, *\)からなり、\(A\)がファイナイト（有限）である時は、それは、\((p_1, ..., p_n) * (p'_1, ..., p'_n) + (p''_1, ..., p''_n) = (p_1 * p'_1 + p''_1, ..., p_n * p'_n + p''_n)\)のようになる。
'モジュール（加群）たちのダイレクトサム'と比べてみよう、それは、モジュール（加群）たちだけに対して定義され、\(\{p_\alpha \vert \alpha \in A\}\)の内のファイナイト（有限）数のものだけが\(0\)でないという条件を課す。
