592: モジュール（加群）たちのダイレクトサム

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

モジュール（加群）たちのダイレクトサムの定義

---

話題

About: モジュール（加群）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）たちのダイレクトサムの定義を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリングたち }\}$
$\{M_{\alpha }\}$: $M_{\alpha }\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュールたち }\}$、ここで、$\alpha \in A$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット
$\ast {\oplus }_{\alpha \in A}{M}_{\alpha }$: $=\{{\times }_{\alpha \in A}{p}_{\alpha }\in {\times }_{\alpha \in A}{M}_{\alpha }|p_{\alpha }=0\text{ いくつかファイナイト（有限）数インデックスたちを除いた全てに対して }\}$で、$R$モジュール（加群）オペレーションたちを持つもの、ここで、${\times }_{\alpha \in A}{M}_{\alpha }$はプロダクトセットを表わす
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }r,r^{\prime }\in R,\mathrm{\forall }{\times }_{\alpha \in A}{p}_{\alpha },{\times }_{\alpha \in A}{p}_{\alpha }^{\prime }\in {\oplus }_{\alpha \in A}{M}_{\alpha }(r{\times }_{\alpha \in A}{p}_{\alpha }+r^{\prime }{\times }_{\alpha \in A}{p}_{\alpha }^{\prime }={\times }_{\alpha \in A}(r{p}_{\alpha }+r^{\prime }{p}_{\alpha }^{\prime }))$
//

---

2: 自然言語記述

任意のリング$R$、任意の$R$モジュール（加群）たち$\{M_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット、に対して、${\oplus }_{\alpha \in A}{M}_{\alpha }:=\{{\times }_{\alpha \in A}{p}_{\alpha }\in {\times }_{\alpha \in A}{M}_{\alpha }|p_{\alpha }=0\text{ いくつかファイナイト（有限）数インデックスたちを除いた全てに対して}\}$で、$R$モジュール（加群）オペレーションたち$\mathrm{\forall }r,r^{\prime }\in R,\mathrm{\forall }{\times }_{\alpha \in A}{p}_{\alpha },{\times }_{\alpha \in A}{p}_{\alpha }^{\prime }\in {\oplus }_{\alpha \in A}{M}_{\alpha }(r{\times }_{\alpha \in A}{p}_{\alpha }+r^{\prime }{\times }_{\alpha \in A}{p}_{\alpha }^{\prime }={\times }_{\alpha \in A}(r{p}_{\alpha }+r^{\prime }{p}_{\alpha }^{\prime }))$を持つもの、ここで、${\times }_{\alpha \in A}{M}_{\alpha }$はプロダクトセットを表わす

---

3: 注

$A$がファイナイト（有限）である時は、本定義は、'ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクト'でストラクチャーたちをモジュール（加群）たちと取ったものに等しい。本定義は、一般的なストラクチャーたちへ一般化できない、なぜなら、$0$は一般化には定義されていないから。

本定義を'グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして'と混同しないように、後者は、構成要素モジュールたちから新たなモジュールを作るというものではない。任意のアーベリアングループはモジュールであるので、いくつかのアーベリアングループたちの、本定義のコンセプトによるダイレクトサムはあり得る、しかし、その、モジュールたちのダイレクトサムは、厳密に言って、構成要素グループたちの、'グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして'によるダイレクトサムではない: $G_1\oplus G_2$の任意の要素は、$(p_1,p_2)$という形式のものであり、$G_1$の任意の要素$p_1$はその形式のものではない、したがって、$G_1\oplus G_2$の要素ではなく、したがって、$G_1$は$G_1\oplus G_2$のサブグループではない; 実のところ、$G$は'グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして'による、$G_1\times \{1\}$と$\{1\}\times G_2$のダイレクトサムである。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>