モジュール（加群）たちのダイレクトサムの定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）たちのダイレクトサムの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリングたち }\}\)
\( \{M_\alpha\}\): \(M_\alpha \in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュールたち }\}\)、ここで、\(\alpha \in A\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット
\(*\oplus_{\alpha \in A} M_\alpha\): \(= \{\times_{\alpha \in A} p_\alpha \in \times_{\alpha \in A} M_\alpha \vert p_\alpha = 0 \text{ いくつかファイナイト（有限）数インデックスたちを除いた全てに対して }\}\)で、\(R\)モジュール（加群）オペレーションたちを持つもの、ここで、\(\times_{\alpha \in A} M_\alpha\)はプロダクトセットを表わす
//
コンディションたち:
\(\forall r, r' \in R, \forall \times_{\alpha \in A} p_\alpha, \times_{\alpha \in A} p'_\alpha \in \oplus_{\alpha \in A} M_\alpha (r \times_{\alpha \in A} p_\alpha + r' \times_{\alpha \in A} p'_\alpha = \times_{\alpha \in A} (r p_\alpha + r' p'_\alpha))\)
//
2: 自然言語記述
任意のリング\(R\)、任意の\(R\)モジュール（加群）たち\(\{M_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット、に対して、\(\oplus_{\alpha \in A} M_\alpha := \{\times_{\alpha \in A} p_\alpha \in \times_{\alpha \in A} M_\alpha \vert p_\alpha = 0 \text{ いくつかファイナイト（有限）数インデックスたちを除いた全てに対して}\}\)で、\(R\)モジュール（加群）オペレーションたち\(\forall r, r' \in R, \forall \times_{\alpha \in A} p_\alpha, \times_{\alpha \in A} p'_\alpha \in \oplus_{\alpha \in A} M_\alpha (r \times_{\alpha \in A} p_\alpha + r' \times_{\alpha \in A} p'_\alpha = \times_{\alpha \in A} (r p_\alpha + r' p'_\alpha))\)を持つもの、ここで、\(\times_{\alpha \in A} M_\alpha\)はプロダクトセットを表わす
3: 注
\(A\)がファイナイト（有限）である時は、本定義は、'ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクト'でストラクチャーたちをモジュール（加群）たちと取ったものに等しい。本定義は、一般的なストラクチャーたちへ一般化できない、なぜなら、\(0\)は一般化には定義されていないから。
本定義を'グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして'と混同しないように、後者は、構成要素モジュールたちから新たなモジュールを作るというものではない。任意のアーベリアングループはモジュールであるので、いくつかのアーベリアングループたちの、本定義のコンセプトによるダイレクトサムはあり得る、しかし、その、モジュールたちのダイレクトサムは、厳密に言って、構成要素グループたちの、'グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして'によるダイレクトサムではない: \(G_1 \oplus G_2\)の任意の要素は、\((p_1, p_2)\)という形式のものであり、\(G_1\)の任意の要素\(p_1\)はその形式のものではない、したがって、\(G_1 \oplus G_2\)の要素ではなく、したがって、\(G_1\)は\(G_1 \oplus G_2\)のサブグループではない; 実のところ、\(G\)は'グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして'による、\(G_1 \times \{1\}\)と\(\{1\} \times G_2\)のダイレクトサムである。
