グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\( \{G_1, ..., G_n\}\): \(\subseteq \{G \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall G_j \in \{G_1, ..., G_n\} (G_j \cap (G_1 ... G_{j - 1} \hat{G_j} G_{j + 1} ... G_n) = \{1\})\)
\(\land\)
\(G = G_1 ... G_n\)
//
2: 自然言語記述
以下を満たす任意のグループ（群）\(G\)、つまり、\(G\)の以下を満たすいくつかのノーマルサブグループ（正規部分群）たち\(G_1, ..., G_n\)がある、つまり、各\(G_j \in \{G_1, ..., G_n\}\)に対して、\(G_j \cap (G_1 ... G_{j - 1} \hat{G_j} G_{j + 1} ... G_n) = \{1\}\)および\(G = G_1 ... G_n\)
3: 注
\(G\)はアーベリアンである必要はない。
名称が、単に"ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサム"でなく"グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして"となっているのは、当該ダイレクトサムは、新たなグループを作るわけではなく、それは、既存のグループをダイレクトサムとして判定するという問題だからである。
本定義を'モジュール（加群）たちのダイレクトサム'と混同しないように、後者は、構成要素モジュールたちから新たなモジュールを作るというものである。任意のアーベリアングループはモジュールであるので、いくつかのアーベリアングループたちの、'モジュール（加群）たちのダイレクトサム'というコンセプトによるダイレクトサムはあり得る、しかし、その、モジュールたちのダイレクトサムは、厳密に言って、構成要素グループたちの、本定義によるダイレクトサムではない: \(G_1 \oplus G_2\)の任意の要素は、\((p_1, p_2)\)という形式のものであり、\(G_1\)の任意の要素\(p_1\)はその形式のものではない、したがって、\(G_1 \oplus G_2\)の要素ではなく、したがって、\(G_1\)は\(G_1 \oplus G_2\)のサブグループではない; 実のところ、\(G_1 \oplus G_2\)は本定義による、\(G_1 \times \{1\}\)と\(\{1\} \times G_2\)のダイレクトサムである。
任意のアーベリアングループで本定義による任意の有限数ノーマルサブグループたちのダイレクトサムであるものは、当該サブグループたちの'モジュールたちのダイレクトサム'によるダイレクトサムに等しくはないが、'グループたち - ホモモーフィズム（準同形写像）'アイソモーフィック（同形写像）である、任意のグループ（群）で任意の有限数ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムであるものは、当該サブグループたちのダイレクトプロダクト へ'グループたち - ホモモーフィズム（準同形写像）'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題によって。
本定義が\(G = G_1 ... G_n\)を要求するか、\(G\)が\(\{G_1, ..., G_n\}\)によって生成されることを要求するか、は、何の違いも起こさない、なぜなら、\((1, ..., n)\)の各パーミュテーション（並べ替え）\(\sigma\)に対して、\(G_1 ... G_n = G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_n}\)である、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって、したがって、\(G_1 ... G_n\)は\(\{G_1, ..., G_n\}\)によって生成されたグループに他ならない。
\(\{G_1, ..., G_n\}\)の順序は何の違いも引き起こさない、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題によって。
