590: グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして|T.B.P.日本語版

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グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、の定義

話題

About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 自然言語記述
3: 注

開始コンテキスト

読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、の定義を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

* G

\in {全てのグループ（群）たち}

{G_{1}, . . ., G_{n}}

\subseteq {G の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち}

//

コンディションたち:

\forall G_{j} \in {G_{1}, . . ., G_{n}} (G_{j} \cap (G_{1} . . . G_{j - 1} \hat{G_{j}} G_{j + 1} . . . G_{n}) = {1})

\land

G = G_{1} . . . G_{n}

2: 自然言語記述

以下を満たす任意のグループ（群）

G

、つまり、

G

の以下を満たすいくつかのノーマルサブグループ（正規部分群）たち

G_{1}, . . ., G_{n}

がある、つまり、各

G_{j} \in {G_{1}, . . ., G_{n}}

に対して、

G_{j} \cap (G_{1} . . . G_{j - 1} \hat{G_{j}} G_{j + 1} . . . G_{n}) = {1}

および

G = G_{1} . . . G_{n}

3: 注

G

はアーベリアンである必要はない。

名称が、単に"ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサム"でなく"グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして"となっているのは、当該ダイレクトサムは、新たなグループを作るわけではなく、それは、既存のグループをダイレクトサムとして判定するという問題だからである。

本定義を'モジュール（加群）たちのダイレクトサム'と混同しないように、後者は、構成要素モジュールたちから新たなモジュールを作るというものである。任意のアーベリアングループはモジュールであるので、いくつかのアーベリアングループたちの、'モジュール（加群）たちのダイレクトサム'というコンセプトによるダイレクトサムはあり得る、しかし、その、モジュールたちのダイレクトサムは、厳密に言って、構成要素グループたちの、本定義によるダイレクトサムではない:

G_{1} \oplus G_{2}

の任意の要素は、

(p_{1}, p_{2})

という形式のものであり、

G_{1}

の任意の要素

p_{1}

はその形式のものではない、したがって、

G_{1} \oplus G_{2}

の要素ではなく、したがって、

G_{1}

は

G_{1} \oplus G_{2}

のサブグループではない; 実のところ、

G_{1} \oplus G_{2}

は本定義による、

G_{1} \times {1}

と

{1} \times G_{2}

のダイレクトサムである。

任意のアーベリアングループで本定義による任意の有限数ノーマルサブグループたちのダイレクトサムであるものは、当該サブグループたちの'モジュールたちのダイレクトサム'によるダイレクトサムに等しくはないが、'グループたち - ホモモーフィズム（準同形写像）'アイソモーフィック（同形写像）である、任意のグループ（群）で任意の有限数ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムであるものは、当該サブグループたちのダイレクトプロダクトへ'グループたち - ホモモーフィズム（準同形写像）'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題によって。

本定義が

G = G_{1} . . . G_{n}

を要求するか、

G

が

{G_{1}, . . ., G_{n}}

によって生成されることを要求するか、は、何の違いも起こさない、なぜなら、

(1, . . ., n)

の各パーミュテーション（並べ替え）

σ

に対して、

G_{1} . . . G_{n} = G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{n}}

である、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって、したがって、

G_{1} . . . G_{n}

は

{G_{1}, . . ., G_{n}}

によって生成されたグループに他ならない。

{G_{1}, . . ., G_{n}}

の順序は何の違いも引き起こさない、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題によって。

参考資料

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2024年5月26日日曜日